この問題はベイズの定理を用いて解くことができます。まず、事前確率と各袋から赤玉を取り出す確率を定め、それに基づいて条件付き確率を計算します。

1. 事前確率

各袋が選ばれる確率は等しいと仮定します。そのため、 $P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{1}{3}$

2. 袋ごとに赤玉を取り出す確率

• 袋1：赤玉と白玉の割合が $3:1$ なので、赤玉を取り出す確率は $P(R|B_1) = \frac{3}{4}$

• 袋2：赤玉と白玉の割合が $1:3$ なので、赤玉を取り出す確率は $P(R|B_2) = \frac{1}{4}$

• 袋3：赤玉と白玉の割合が $1:1$ なので、赤玉を取り出す確率は $P(R|B_3) = \frac{1}{2}$

3. 1回目に赤玉が出る確率

無作為に選ばれた袋から赤玉を取り出す全体の確率 $P(R)$ は、全ての袋の確率を合計して求めます。 $P(R) = P(R|B_1) \cdot P(B_1) + P(R|B_2) \cdot P(B_2) + P(R|B_3) \cdot P(B_3)$ $= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ $= \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

4. (1) 2回目の赤玉の取り出し終了時点での袋1の事後確率

1回目、2回目ともに赤玉が出た後の袋1の事後確率 $P(B_1|R, R)$ を求めます。ベイズの定理より、 $P(B_1|R, R) = \frac{P(R, R|B_1) \cdot P(B_1)}{P(R, R)}$ ここで、

• $P(R, R|B_1)$ は袋1が選ばれた場合に2回連続で赤玉を取り出す確率で、$\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$ です。
• $P(R, R)$ は無作為に袋を選び2回連続で赤玉を取り出す確率で、次のように計算します。

$P(R, R) = P(R, R|B_1) \cdot P(B_1) + P(R, R|B_2) \cdot P(B_2) + P(R, R|B_3) \cdot P(B_3)$ $= \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ $= \frac{9}{48} + \frac{1}{48} + \frac{4}{48} = \frac{14}{48} = \frac{7}{24}$

したがって、 $P(B_1|R, R) = \frac{\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{7}{24}} = \frac{\frac{9}{48}}{\frac{7}{24}} = \frac{9 \times 24}{48 \times 7} = \frac{216}{336} = \frac{3}{7} \approx 0.429$

5. (2) 3回目の赤玉の取り出し終了時点での袋1の事後確率

同様に、3回連続で赤玉を取り出した後の袋1の事後確率 $P(B_1|R, R, R)$ を求めます。 $P(B_1|R, R, R) = \frac{P(R, R, R|B_1) \cdot P(B_1)}{P(R, R, R)}$ ここで、

• $P(R, R, R|B_1) = \left( \frac{3}{4} \right)^3 = \frac{27}{64}$
• $P(R, R, R)$ は全体で3回連続赤玉が出る確率で次のように計算します。

$P(R, R, R) = P(R, R, R|B_1) \cdot P(B_1) + P(R, R, R|B_2) \cdot P(B_2) + P(R, R, R|B_3) \cdot P(B_3)$ $= \frac{27}{64} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{64} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3}$ $= \frac{27}{192} + \frac{1}{192} + \frac{8}{192} = \frac{36}{192} = \frac{3}{16}$

したがって、 $P(B_1|R, R, R) = \frac{\frac{27}{64} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{3}{16}} = \frac{\frac{27}{192}}{\frac{3}{16}} = \frac{27 \times 16}{192 \times 3} = \frac{432}{576} = \frac{3}{4} = 0.75$

答え

(1) 2回目の玉の取り出し終了時点での袋1の事後確率は 約0.429 です。

(2) 3回目の玉の取り出し終了時点での袋1の事後確率は 0.750 です。

質問があれば教えてください。また、次のような関連問題に取り組むと理解が深まります：

1. 1回目に白玉が出た場合の袋1の事後確率を求めよ。
2. 袋2で3回連続して白玉が出る確率を求めよ。
3. 3回目終了時点での袋2の事後確率を計算せよ。
4. 同様の事象が4回続いた場合、袋1の事後確率はどうなるか？
5. 初回が白玉でその後赤玉が続いた場合の袋1の確率は？

Tip: ベイズの定理は「観測結果に基づいて確率を更新する」方法です。