見分けのつかない袋が 3 つある．
袋1 には赤玉と白玉が 3 : 1 の割合で，袋2 には 1 : 3 の割合で，袋3 には 1 : 1 で入っている．

1 つの袋を無作為に選び，その中から 1 つ玉を取り出したところ，赤玉だった．
その後，取り出した玉を元の袋に戻してよくかき混ぜ，その袋から 1 つ玉を取り出すという作業を 2 回繰り返した．
2 回目も 3 回目も取り出した玉の色は赤だった．

このとき，(1) 2 回目 および (2) 3 回目の玉の取り出し終了時点での 袋1 の事後確率を求めよ．

解答は分数でも少数でもよい．
小数で解答する場合は，小数点以下第3位までを解答すること（第4位以下を四捨五入）．

この問題は、ベイズの定理と事後確率を用いて解くことができます。袋1が選ばれている確率（事後確率）を各ステップ（2回目と3回目の赤玉が出た時点）で計算します。

### 問題の設定
1. 袋1には赤玉と白玉が3:1の割合で入っているため、赤玉を取り出す確率 \( P(\text{赤}|\text{袋1}) = \frac{3}{4} \)。
2. 袋2には赤玉と白玉が1:3の割合で入っているため、赤玉を取り出す確率 \( P(\text{赤}|\text{袋2}) = \frac{1}{4} \)。
3. 袋3には赤玉と白玉が1:1の割合で入っているため、赤玉を取り出す確率 \( P(\text{赤}|\text{袋3}) = \frac{1}{2} \)。
4. 各袋が選ばれる確率は等しいので、各袋を選ぶ事前確率は \( P(\text{袋1}) = P(\text{袋2}) = P(\text{袋3}) = \frac{1}{3} \)。

### (1) 2回目の玉の取り出し終了時点での袋1の事後確率

まず、1回目に赤玉が出た後の事後確率を計算し、その後2回目に赤玉が出たときの事後確率を求めます。

#### ステップ1：1回目の赤玉の事後確率
ベイズの定理を使って、袋1が選ばれている確率 \( P(\text{袋1|赤}) \) を計算します。

- 1回目に赤玉が出る確率：
  \[
  P(\text{赤}) = P(\text{赤}|\text{袋1}) \cdot P(\text{袋1}) + P(\text{赤}|\text{袋2}) \cdot P(\text{袋2}) + P(\text{赤}|\text{袋3}) \cdot P(\text{袋3})
  \]
  \[
  = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
  \]

- 袋1が選ばれている事後確率（1回目に赤玉が出た後）：
  \[
  P(\text{袋1}|\text{赤}) = \frac{P(\text{赤}|\text{袋1}) \cdot P(\text{袋1})}{P(\text{赤})} = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
  \]

#### ステップ2：2回目に赤玉が出た後の袋1の事後確率
再びベイズの定理を使いますが、今度は袋1が選ばれている事後確率 \( P(\text{袋1|赤, 赤}) \) を求めます。

- 2回目に赤玉が出る確率：
  \[
  P(\text{赤|赤}) = P(\text{赤|赤, 袋1}) \cdot P(\text{袋1|赤}) + P(\text{赤|赤, 袋2}) \cdot P(\text{袋2|赤}) + P(\text{赤|赤, 袋3}) \cdot P(\text{袋3|赤})
  \]


見分けのつかない袋が 3 つある．袋1 には赤玉と白玉が 3 : 1 の割合で，袋2 には 1 : 3 の割合で，袋3 には 1 : 1 で入っている．1 つの袋を無作為に選び，その中から 1 つ玉を取り出したところ，赤玉だった．その後，取り出した玉を元の袋に戻してよくかき混ぜ，その袋から 1 つ玉を取り出すという作業を 2 回繰り返した．2 回目も 3 回目も取り出した玉の色は赤だった．このとき，(1) 2 回目 および (2) 3 回目の玉の取り出し終了時点での 袋1 の事後確率を求めよ．解答は分数でも少数でもよい．小数で解答する場合は，小数点以下第3位までを解答すること（第4位以下を四捨五入）．

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