この問題は、ベイズの定理と事後確率を用いて解くことができます。袋1が選ばれている確率（事後確率）を各ステップ（2回目と3回目の赤玉が出た時点）で計算します。

問題の設定

1. 袋1には赤玉と白玉が3:1の割合で入っているため、赤玉を取り出す確率 $P(\text{赤}|\text{袋1}) = \frac{3}{4}$。
2. 袋2には赤玉と白玉が1:3の割合で入っているため、赤玉を取り出す確率 $P(\text{赤}|\text{袋2}) = \frac{1}{4}$。
3. 袋3には赤玉と白玉が1:1の割合で入っているため、赤玉を取り出す確率 $P(\text{赤}|\text{袋3}) = \frac{1}{2}$。
4. 各袋が選ばれる確率は等しいので、各袋を選ぶ事前確率は $P(\text{袋1}) = P(\text{袋2}) = P(\text{袋3}) = \frac{1}{3}$。

(1) 2回目の玉の取り出し終了時点での袋1の事後確率

まず、1回目に赤玉が出た後の事後確率を計算し、その後2回目に赤玉が出たときの事後確率を求めます。

ステップ1：1回目の赤玉の事後確率

ベイズの定理を使って、袋1が選ばれている確率 $P(\text{袋1|赤})$ を計算します。

• 1回目に赤玉が出る確率： $P(\text{赤}) = P(\text{赤}|\text{袋1}) \cdot P(\text{袋1}) + P(\text{赤}|\text{袋2}) \cdot P(\text{袋2}) + P(\text{赤}|\text{袋3}) \cdot P(\text{袋3})$ $= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

• 袋1が選ばれている事後確率（1回目に赤玉が出た後）： $P(\text{袋1}|\text{赤}) = \frac{P(\text{赤}|\text{袋1}) \cdot P(\text{袋1})}{P(\text{赤})} = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

ステップ2：2回目に赤玉が出た後の袋1の事後確率

再びベイズの定理を使いますが、今度は袋1が選ばれている事後確率 $P(\text{袋1|赤, 赤})$ を求めます。

• 2回目に赤玉が出る確率： $P(\text{赤|赤}) = P(\text{赤|赤, 袋1}) \cdot P(\text{袋1|赤}) + P(\text{赤|赤, 袋2}) \cdot P(\text{袋2|赤}) + P(\text{赤|赤, 袋3}) \cdot P(\text{袋3|赤})$