Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu, kita menggunakan langkah-langkah berikut:

Diberikan:

Lingkaran:
$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 4 = 0$
Gradien garis singgung ($m$):
$m = 4$

---

1. Transformasi Persamaan Lingkaran ke Bentuk Standar

Kita ubah ke bentuk $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ dengan melengkapi kuadrat:
$x^2 - 4x + y^2 + 6y - 4 = 0$

Untuk $x$:

$x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$

Untuk $y$:

$y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9$

Substitusi:

$(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 - 4 = 0$
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 17$

Bentuk standar lingkaran:
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 17$
Pusat lingkaran $(h, k) = (2, -3)$, dan jari-jari $r = \sqrt{17}$.

---

2. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $m = 4$

Persamaan garis dengan gradien $m$ adalah:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
atau
$y = 4x + c$
dimana $c$ adalah konstanta.

---

3. Substitusi Persamaan Garis ke Persamaan Lingkaran

Garis singgung memenuhi persamaan lingkaran, sehingga substitusi $y = 4x + c$ ke persamaan lingkaran:
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 17$
$(x-2)^2 + (4x + c + 3)^2 = 17$

Hitung satu per satu:

$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$
$(4x + c + 3)^2 = 16x^2 + 8cx + 24x + c^2 + 6c + 9$

Gabungkan:
$x^2 - 4x + 4 + 16x^2 + 8cx + 24x + c^2 + 6c + 9 = 17$
$17x^2 + (20 + 8c)x + (c^2 + 6c - 4) = 0$

---

4. Syarat Garis Singgung

Agar garis menjadi singgung, diskriminan harus nol:
$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
Disini:
$a = 17, \, b = 20 + 8c, \, c = c^2 + 6c - 4$
$(20 + 8c)^2 - 4(17)(c^2 + 6c - 4) = 0$

Hitung diskriminan:

$(20 + 8c)^2 = 400 + 320c + 64c^2$
$4 \times 17 \times (c^2 + 6c - 4) = 68c^2 + 408c - 272$
$400 + 320c + 64c^2 - (68c^2 + 408c - 272) = 0$
$400 + 320c + 64c^2 - 68c^2 - 408c + 272 = 0$
$-4c^2 - 88c + 672 = 0$
$c^2 + 22c - 168 = 0$

---

5. Pecahkan Persamaan Kuadrat untuk $c$

$c = \frac{-22 \pm \sqrt{22^2 - 4(1)(-168)}}{2(1)}$
$c = \frac{-22 \pm \sqrt{484 + 672}}{2}$
$c = \frac{-22 \pm \sqrt{1156}}{2}$
$c = \frac{-22 \pm 34}{2}$

Dua solusi:
$c = \frac{-22 + 34}{2} = 6, \quad c = \frac{-22 - 34}{2} = -28$

---

6. Persamaan Garis Singgung

Untuk $c = 6$:
$y = 4x + 6$
Untuk $c = -28$:
$y = 4x - 28$

---

Jawaban:

Persamaan garis singgung adalah:
$y = 4x + 6 \quad \text{atau} \quad y = 4x - 28$

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut? 😊
5 Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum?
2. Apa yang dimaksud dengan gradien garis singgung?
3. Mengapa diskriminan digunakan dalam syarat garis singgung?
4. Bagaimana cara melengkapi kuadrat pada persamaan kuadrat?
5. Bagaimana menentukan titik singgung dari garis ini?

Tip: Jika gradien diketahui, substitusi dan syarat diskriminan sering menjadi kunci!