Da bismo riješili ovaj problem, cilj je pronaći vrijednosti $x$ i $y$ takve da njihov zbroj iznosi 10, a zbroj njihovih recipročnih vrijednosti $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ bude minimalan.

Ovdje je postupak i objašnjenje:

1. Postavljeni uvjeti:

   • $x + y = 10$
   • $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \text{min}$

2. Izraz za recipročnu sumu:

   • Možemo koristiti formulu za zbroj recipročnih vrijednosti: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy}$ Budući da znamo $x + y = 10$, možemo to zamijeniti i dobiti: $\frac{10}{xy}$

3. Zadani uvjeti:

   • Da bi $\frac{10}{xy}$ bio minimalan, potrebno je maksimizirati $xy$, jer je 10 konstanta.

4. Postavljanje izraza za $y$:

   • $y = 10 - x$, zamjeniti u izraz za $xy$: $xy = x(10 - x) = 10x - x^2$

5. Maksimizacija kvadratne funkcije:

   • Kvadratna funkcija $10x - x^2$ je oblika $ax^2 + bx + c$, gdje je $a = -1$, $b = 10$.
   • Maksimum kvadratne funkcije se nalazi u vrhu parabole, $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

6. Izračunavanje vrha parabole:

   • $x_0 = -\frac{10}{2(-1)} = 5$

7. Vrijednost za $x$ i $y$:

   • $x = 5$
   • $y = 10 - 5 = 5$

8. Provjera:

   • Da li je $x + y = 10$? Da, $5 + 5 = 10$.
   • $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{10}{xy} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
   • Ovo je minimalna vrijednost koja se može postići jer $xy$ je maksimalizirano na 25 pri ovim vrijednostima $x$ i $y$.

Dakle, rješenje je točno. Korištenjem derivata ili samo ispitivanjem vrha kvadratne funkcije, pokazali smo da $x = 5$ i $y = 5$ daju minimalnu recipročnu sumu.