对于任意的二次函数应用题，解决问题的基本思路通常分为以下几个步骤：

无计算机情况下解题思路

1. 理解题意并设未知数： 阅读题目，找出关键字并设立未知数。例如，若题目中涉及两个数字，我们可以设这两个数字分别为 $x$ 和 $y$。

2. 建立数学模型（方程或函数）： 根据题意，利用未知数建立方程或函数。例如，如果需要找到某种最大值或最小值，可以将问题转换为一个二次函数的最大值或最小值问题。

3. 解方程或函数： 求解方程或二次函数，例如通过平方完成法（Complete the square）或使用二次求根公式来求解。

4. 验证和解释结果： 验证解的合理性，确保结果符合题目条件，必要时提供解释说明。

有计算机情况下解题思路

1. 设定变量和函数： 使用编程语言（如Python）设定变量和函数，确保模型化步骤明确和可操作。

2. 求解函数的极值： 通过计算机算法，例如数值求解方法、微积分方法（使用库如SymPy或SciPy），求解最大值或最小值。

3. 验证和解释结果： 使用计算机输出的解来验证其正确性和合理性，并解释结果。

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例题解决步骤

题目

One number is 3 more than another number. Find the two numbers such that the difference between the square of the larger number and twice the square of the smaller number is a maximum.

1. 设立变量

设较小的数字为 $x$，较大的数字为 $y = x + 3$。

2. 建立目标函数

目标是最大化 $y^2 - 2x^2$。

将 $y = x + 3$ 代入：

$f(x) = (x + 3)^2 - 2x^2$

展开并化简：

$f(x) = (x^2 + 6x + 9) - 2x^2 = -x^2 + 6x + 9$

3. 求解极值

因为这是一个关于 $x$ 的二次函数，形如 $ax^2 + bx + c$，其最大值在顶点处取得。对于二次函数 $ax^2 + bx + c$，顶点 $x$ 的值为：

$x = -\frac{b}{2a}$

在这里，$a = -1$，$b = 6$，因此：

$x = -\frac{6}{2(-1)} = 3$

所以，较小的数字 $x = 3$，较大的数字 $y = x + 3 = 6$。

4. 验证最大值

将 $x = 3$ 代入目标函数 $f(x)$：

$f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 9 = -9 + 18 + 9 = 18$

因此，当 $x = 3$ 和 $y = 6$ 时，差值 $y^2 - 2x^2$ 的最大值为 18。

5. 解答结果

两个数字分别是 3 和 6，差值的最大值是 18。

小提示

二次函数的问题通常涉及找到其最大或最小值，这些问题可以通过找到函数的顶点来解决。无论是使用平方完成法还是二次求根公式，理解顶点的位置是关键。

相关问题扩展

1. 如何使用平方完成法解一个给定的二次函数？
2. 什么是二次求根公式及其推导过程？
3. 如何利用导数求解函数的极值？
4. 二次函数如何应用于物理或经济中的实际问题？
5. 若给定不同的条件，如何转换和重新建模问题？

你有其他的疑问或需要进一步的详细解释吗？