对于任意的二次函数应用题来说，解决题目的思路是什么，分为无计算机和有计算机，然后一步步把例题解决。One number is 3 more than another number. Find the two numbers such that the difference between the square of the larger number and twice the square of the smaller number is a maximum.

对于任意的二次函数应用题，解决问题的基本思路通常分为以下几个步骤：

### 无计算机情况下解题思路

1. **理解题意并设未知数**：
   阅读题目，找出关键字并设立未知数。例如，若题目中涉及两个数字，我们可以设这两个数字分别为 \(x\) 和 \(y\)。

2. **建立数学模型（方程或函数）**：
   根据题意，利用未知数建立方程或函数。例如，如果需要找到某种最大值或最小值，可以将问题转换为一个二次函数的最大值或最小值问题。

3. **解方程或函数**：
   求解方程或二次函数，例如通过平方完成法（Complete the square）或使用二次求根公式来求解。

4. **验证和解释结果**：
   验证解的合理性，确保结果符合题目条件，必要时提供解释说明。

### 有计算机情况下解题思路

1. **设定变量和函数**：
   使用编程语言（如Python）设定变量和函数，确保模型化步骤明确和可操作。

2. **求解函数的极值**：
   通过计算机算法，例如数值求解方法、微积分方法（使用库如SymPy或SciPy），求解最大值或最小值。

3. **验证和解释结果**：
   使用计算机输出的解来验证其正确性和合理性，并解释结果。

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### 例题解决步骤

#### 题目
One number is 3 more than another number. Find the two numbers such that the difference between the square of the larger number and twice the square of the smaller number is a maximum.

#### 1. 设立变量
设较小的数字为 \(x\)，较大的数字为 \(y = x + 3\)。

#### 2. 建立目标函数
目标是最大化 \( y^2 - 2x^2 \)。

将 \(y = x + 3\) 代入：

\[
f(x) = (x + 3)^2 - 2x^2
\]

展开并化简：

\[
f(x) = (x^2 + 6x + 9) - 2x^2 = -x^2 + 6x + 9
\]

#### 3. 求解极值
因为这是一个关于 \(x\) 的二次函数，形如 \(ax^2 + bx + c\)，其最大值在顶点处取得。对于二次函数 \(ax^2 + bx + c\)，顶点 \(x\) 的值为：

\[
x = -\frac{b}{2a}
\]

在这里，\(a = -1\)，\(b = 6\)，因此：

\[
x = -\frac{6}{2(-1)} = 3
\]

所以，较小的数字 \(x = 3\)，较大的数字 \(y = x + 3 = 6\)。

#### 4. 验证最大值
将 \(x = 3\) 代入目标函数 \(f(x)\)：

\[
f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 9 = -9 + 18 + 9 = 18
\]

因此，当 \(x = 3\) 和 \(y = 6\) 时，差值 \(y^2 - 2x^2\) 的最大值为 18。

#### 5. 解答结果
两个数字分别是 **3 和 6**，差值的最大值是 **18**。

### 小提示
二次函数的问题通常涉及找到其最大或最小值，这些问题可以通过找到函数的顶点来解决。无论是使用平方完成法还是二次求根公式，理解顶点的位置是关键。

### 相关问题扩展

1. 如何使用平方完成法解一个给定的二次函数？
2. 什么是二次求根公式及其推导过程？
3. 如何利用导数求解函数的极值？
4. 二次函数如何应用于物理或经济中的实际问题？
5. 若给定不同的条件，如何转换和重新建模问题？

你有其他的疑问或需要进一步的详细解释吗？

One number is 3 more than another number. Find the two numbers such that the difference between the square of the larger number and twice the square of the smaller number is a maximum.

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