Chcemy znaleźć największą wartość iloczynu dwóch liczb, których suma wynosi 38. Możemy to zrobić, definiując funkcję kwadratową i znajdując jej maksimum.

1. Definicja zmiennych

Niech:

• $x$ – pierwsza liczba,
• $y$ – druga liczba.

Z warunku sumy mamy: $x + y = 38$ Stąd możemy wyrazić $y$ w zależności od $x$: $y = 38 - x$

2. Funkcja iloczynu

Iloczyn tych liczb wynosi: $P(x) = x \cdot y = x \cdot (38 - x)$ Rozwijamy: $P(x) = 38x - x^2$

3. Znalezienie maksimum funkcji kwadratowej

Funkcja $P(x)$ jest funkcją kwadratową: $P(x) = -x^2 + 38x$ Jest to funkcja o ramionach skierowanych w dół ($a = -1$), więc maksimum znajduje się w wierzchołku paraboli.

Współrzędna $x$ wierzchołka paraboli to: $x_w = \frac{-b}{2a} = \frac{-38}{2(-1)} = \frac{38}{2} = 19$

Podstawiamy $x = 19$ do równania sumy: $y = 38 - 19 = 19$

4. Obliczenie maksymalnego iloczynu

$P(19) = 19 \cdot 19 = 361$

5. Odpowiedź:

Największa wartość iloczynu to 361, osiągana dla $x = 19$ i $y = 19$.

---

Czy chcesz dokładniejsze wyjaśnienie któregoś kroku?
Oto kilka powiązanych pytań:

1. Jak znaleźć maksimum funkcji kwadratowej w ogólnej postaci?
2. Czy dla innych sum (np. 50) metoda działa tak samo?
3. Czy można rozwiązać problem inną metodą niż funkcja kwadratowa?
4. Jak znaleźć maksimum dla iloczynu więcej niż dwóch liczb?
5. Jakie inne zastosowania ma optymalizacja przy pomocy funkcji kwadratowej?

🔹 Matematyczna wskazówka: Jeśli suma dwóch liczb jest ustalona, ich iloczyn jest maksymalny, gdy liczby są równe.