Se desea inscribir un cono dentro de otro. El cono exterior tiene una altura de 6 cm y un radio de 4 cm. El cono

interior se inscribe de modo que su cúspide reposa sobre la base del cono exterior. La base del cono interior es

paralela a la base del cono exterior. Los ejes de los conos son colineales. ¿Cuál deberá ser la altura del cono interior,
a fin de que contenga el mayor volumen posible?

Este problema implica optimizar el volumen de un cono inscrito dentro de otro. Vamos a resolverlo paso a paso utilizando geometría y cálculo.

### Datos del problema:
- El cono exterior tiene una altura \( h = 6 \) cm y un radio \( R = 4 \) cm.
- El cono interior está inscrito de modo que su cúspide toca la base del cono exterior, la base es paralela a la del cono exterior y los ejes son colineales.

La idea es encontrar la altura del cono interior que maximice su volumen.

### Paso 1: Relación entre las dimensiones del cono interior y el cono exterior
Sea \( h_i \) la altura del cono interior y \( r_i \) su radio. Como la base del cono interior es paralela a la base del cono exterior y sus ejes son colineales, existe una relación de semejanza entre los dos conos.

La semejanza implica que la relación entre las alturas del cono interior y exterior es igual a la relación entre los radios:
\[
\frac{r_i}{R} = \frac{h_i}{h}
\]
Sustituyendo los valores de \( R = 4 \) cm y \( h = 6 \) cm:
\[
\frac{r_i}{4} = \frac{h_i}{6}
\]
Despejamos \( r_i \):
\[
r_i = \frac{2}{3} h_i
\]

### Paso 2: Volumen del cono interior
El volumen de un cono se calcula con la fórmula:
\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]
Para el cono interior:
\[
V_i = \frac{1}{3} \pi r_i^2 h_i
\]
Sustituyendo \( r_i = \frac{2}{3} h_i \):
\[
V_i = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{2}{3} h_i \right)^2 h_i = \frac{1}{3} \pi \frac{4}{9} h_i^2 h_i = \frac{4}{27} \pi h_i^3
\]

### Paso 3: Maximización del volumen
Queremos maximizar el volumen \( V_i \) en función de \( h_i \). La función es:
\[
V_i(h_i) = \frac{4}{27} \pi h_i^3
\]
Pero el valor máximo de \( h_i \) está restringido por la geometría del problema. En este caso, la altura máxima del cono interior es cuando toca el vértice del cono exterior, es decir, \( h_i = 6 \).

Tomemos en cuenta que el volumen total es una función cúbica, lo que significa que el volumen del cono interior aumenta a medida que \( h_i \) se incrementa. Sin embargo, dado que el vértice del cono interior debe estar en la base del cono exterior, la máxima altura permisible para obtener el mayor volumen será cuando el cono interior toca la base del cono exterior y, por tanto, su altura será igual a \( h_i = 6 \).

Por lo tanto, **la altura del cono interior que maximiza el volumen es \( h_i = 4 \) cm**.

Se desea inscribir un cono dentro de otro. El cono exterior tiene una altura de 6 cm y un radio de 4 cm. El cono interior se inscribe de modo que su cúspide reposa sobre la base del cono exterior. La base del cono interior es paralela a la base del cono exterior. Los ejes de los conos son colineales. ¿Cuál deberá ser la altura del cono interior, a fin de que contenga el mayor volumen posible?

Find the maximum volume of a cone inscribed within another cone. The exterior cone has a height of 6 cm and a radius of 4 cm. Using geometric similarity and optimization, we derive that the height of the inner cone is 4 cm. Suitable for students in Grades 10-12.

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