Seorang petani menanam pohon jeruk pada sebidang tanah. Jika ia menanam 60 pohon, rata-rata hasil panennya 400 buah jeruk untuk setiap pohon. Namun rata-rata hasil panen akan turun 4 buah, setiap ia menanam lagi sebatang pohon jeruk pada area yang sama. Berapa banyak pohon yang harus ditanam agar ia mendapatkan hasil panen yang maksimum?

Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep optimasi dalam kalkulus, terutama dengan memaksimalkan fungsi kuadrat.

Diberikan:
- Jika \( x \) adalah jumlah pohon yang ditanam, maka \( y(x) \) adalah rata-rata hasil panen per pohon.
- Saat \( x = 60 \), rata-rata hasil panen per pohon adalah 400 buah jeruk.
- Setiap penambahan satu pohon menyebabkan penurunan rata-rata hasil panen sebesar 4 buah jeruk per pohon.

Kita dapat menuliskan rata-rata hasil panen per pohon sebagai fungsi dari \( x \):

\[
y(x) = 400 - 4(x - 60)
\]

Sederhanakan fungsi \( y(x) \):

\[
y(x) = 400 - 4x + 240 = 640 - 4x
\]

Total hasil panen adalah \( T(x) \) yang merupakan hasil kali antara jumlah pohon \( x \) dengan rata-rata hasil per pohon \( y(x) \):

\[
T(x) = x \cdot y(x)
\]

Substitusikan \( y(x) \) ke dalam \( T(x) \):

\[
T(x) = x \cdot (640 - 4x) = 640x - 4x^2
\]

Untuk menemukan jumlah pohon \( x \) yang memaksimalkan hasil panen \( T(x) \), kita perlu menemukan titik maksimum dari fungsi kuadrat ini dengan mengambil turunan pertama dari \( T(x) \) terhadap \( x \), dan kemudian menetapkannya sama dengan nol.

Turunan pertama dari \( T(x) \):

\[
\frac{dT(x)}{dx} = 640 - 8x
\]

Setel turunan pertama sama dengan nol untuk menemukan nilai \( x \):

\[
640 - 8x = 0
\]

\[
8x = 640
\]

\[
x = 80
\]

Untuk memastikan ini adalah titik maksimum, kita perlu memeriksa tanda turunan kedua:

\[
\frac{d^2T(x)}{dx^2} = -8
\]

Karena turunan kedua negatif, maka \( x = 80 \) adalah titik maksimum.

Jadi, jumlah pohon yang harus ditanam agar hasil panen maksimum adalah **80 pohon**.

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? 

Berikut 5 pertanyaan terkait yang mungkin menarik:
1. Bagaimana pengaruh penambahan pohon terhadap hasil panen jika penurunan hasil per pohon lebih besar dari 4?
2. Apa yang terjadi jika luas lahan meningkat tanpa mempengaruhi rata-rata hasil panen per pohon?
3. Bagaimana cara menghitung total hasil panen jika jumlah pohon lebih dari 80?
4. Bagaimana perubahan hasil panen jika setiap tambahan pohon mengurangi hasil rata-rata hanya 2 buah?
5. Bagaimana cara memodelkan situasi ini menggunakan metode lain seperti regresi?

**Tip:** Dalam masalah optimasi, setelah menemukan nilai kritis, selalu cek tanda turunan kedua untuk memastikan apakah itu maksimum atau minimum.

Learn how to maximize orange harvest by optimizing the number of trees planted on a farm. This problem involves quadratic optimization and the first derivative test for critical points. Suitable for high school students studying calculus and optimization.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation