La función de demanda para una línea de teléfonos de una compañía es 𝒑 = 𝟗𝟎𝟎 − 𝟑𝒒,
donde 𝒑 es el precio (en soles) por unidad cuando los consumidores demandan 𝒒 unidades
(semanales). Encuentre:
a) El nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricante y determine este
ingreso.
b) Grafique la función ingreso, determine su dominio y rango

### a) Nivel de producción que maximiza el ingreso total y cálculo de este ingreso

La función de demanda es:

\[
p = 900 - 3q
\]

Sabemos que el **Ingreso Total** (IT) se define como:

\[
IT = p \cdot q
\]

Sustituyendo la función de demanda en la fórmula del ingreso total:

\[
IT(q) = (900 - 3q) \cdot q = 900q - 3q^2
\]

Para encontrar el nivel de producción \( q \) que maximiza el ingreso total, derivamos la función de ingreso con respecto a \( q \) y la igualamos a 0.

La derivada del ingreso total es:

\[
\frac{d(IT)}{dq} = 900 - 6q
\]

Igualamos a 0 para encontrar el punto crítico:

\[
900 - 6q = 0
\]

\[
6q = 900
\]

\[
q = \frac{900}{6} = 150
\]

Por lo tanto, el nivel de producción que maximiza el ingreso es \( q = 150 \) unidades.

Ahora, para calcular el **Ingreso Total máximo**, sustituimos \( q = 150 \) en la función de ingreso total:

\[
IT(150) = 900(150) - 3(150)^2
\]

\[
IT(150) = 135,000 - 3(22,500)
\]

\[
IT(150) = 135,000 - 67,500 = 67,500 \text{ soles}
\]

Por lo tanto, el ingreso máximo es **67,500 soles**.

### b) Gráfica de la función ingreso, dominio y rango

La función de ingreso total es:

\[
IT(q) = 900q - 3q^2
\]

1. **Dominio**: Dado que \( q \) representa el número de unidades demandadas, el dominio está restringido por valores no negativos. Es decir, \( q \geq 0 \). Además, la demanda se hace nula cuando \( p = 0 \), lo que implica:

\[
900 - 3q = 0 \quad \Rightarrow \quad q = 300
\]

Por lo tanto, el dominio es \( [0, 300] \).

2. **Rango**: Para el rango, el valor mínimo del ingreso es 0 cuando \( q = 0 \) o \( q = 300 \). El valor máximo es \( 67,500 \) cuando \( q = 150 \).

Entonces, el rango de la función es \( [0, 67,500] \).

### Gráfica de la función

La gráfica de \( IT(q) = 900q - 3q^2 \) es una parábola con coeficiente negativo en \( q^2 \), lo que significa que es una parábola que abre hacia abajo. Su vértice está en \( q = 150 \), que es el punto donde el ingreso total es máximo (67,500 soles).

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**¿Te gustaría una representación gráfica o tienes alguna duda sobre estos resultados?**

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**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo afecta una variación en el precio de los teléfonos al ingreso total?
2. ¿Qué sucede si el costo de producción es considerado en el cálculo del beneficio?
3. ¿Cómo cambia el nivel de producción óptimo si se modifica la función de demanda?
4. ¿Qué implicaciones tiene que el ingreso total sea una parábola?
5. ¿Cómo se puede aplicar este análisis para fijar precios en otros productos?

**Tip**: El punto de máximo ingreso no siempre coincide con el máximo beneficio, ya que este depende también de los costos.

La función de demanda para una línea de teléfonos de una compañía es 𝒑 = 𝟗𝟎𝟎 − 𝟑𝒒, donde 𝒑 es el precio (en soles) por unidad cuando los consumidores demandan 𝒒 unidades (semanales). Encuentre: a) El nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricante y determine este ingreso. b) Grafique la función ingreso, determine su dominio y rango.

Aprende a encontrar el nivel de producción que maximiza el ingreso total para una línea de teléfonos utilizando la función de demanda p = 900 - 3q. Esta solución incluye la derivada para maximizar el ingreso y gráfica de la función. Dominio y rango también explicados. Ideal para estudiantes de álgebra y economía.

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