μια επιχείρηση παράγει ένα προϊόν για το οποίο η συνάρτηση ζήτησης είναι P=(60-2Q)^1,5 ποια είναι η ποσότητα που θα πρέπει να πουλήσει για να μεγιστοποιήσει τα συνολικά έσοδα παρακαλώ να γίνουν αναλυτικές πράξεις.

Για να βρούμε την ποσότητα \( Q \) που μεγιστοποιεί τα συνολικά έσοδα μιας επιχείρησης, ξεκινάμε από τη συνάρτηση ζήτησης. Μας δίνεται ότι η συνάρτηση ζήτησης είναι:

\[
P = (60 - 2Q)^{1.5}
\]

Όπου:
- \( P \) είναι η τιμή
- \( Q \) είναι η ποσότητα του προϊόντος.

### 1. Συνολικά Έσοδα

Τα συνολικά έσοδα \( R \) είναι το γινόμενο της τιμής \( P \) και της ποσότητας \( Q \):

\[
R = P \cdot Q
\]

Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση ζήτησης για \( P \):

\[
R = (60 - 2Q)^{1.5} \cdot Q
\]

### 2. Μέγιστο των Συνολικών Εσόδων

Για να βρούμε το μέγιστο των συνολικών εσόδων, θα πάρουμε την παράγωγο του \( R \) ως προς \( Q \) και θα την εξισώσουμε με το μηδέν, καθώς το μέγιστο ή το ελάχιστο σημείο μιας συνάρτησης βρίσκεται όταν η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν.

\[
R(Q) = (60 - 2Q)^{1.5} \cdot Q
\]

Πρώτα, εφαρμόζουμε τον κανόνα του γινομένου για την παράγωγο:

\[
\frac{dR}{dQ} = \frac{d}{dQ} \left[ (60 - 2Q)^{1.5} \cdot Q \right]
\]

Ο κανόνας του γινομένου λέει ότι:

\[
\frac{d}{dQ}[f(Q) \cdot g(Q)] = f'(Q) \cdot g(Q) + f(Q) \cdot g'(Q)
\]

Ας ονομάσουμε τις δύο συνιστώσες:
- \( f(Q) = (60 - 2Q)^{1.5} \)
- \( g(Q) = Q \)

Υπολογίζουμε τις παραγώγους τους:

1. Παράγωγος του \( f(Q) \):
   \[
   f'(Q) = \frac{d}{dQ} \left[ (60 - 2Q)^{1.5} \right] = 1.5 \cdot (60 - 2Q)^{0.5} \cdot (-2) = -3(60 - 2Q)^{0.5}
   \]

2. Παράγωγος του \( g(Q) \):
   \[
   g'(Q) = \frac{d}{dQ} \left[ Q \right] = 1
   \]

Τώρα εφαρμόζουμε τον κανόνα του γινομένου:

\[
\frac{dR}{dQ} = -3(60 - 2Q)^{0.5} \cdot Q + (60 - 2Q)^{1.5}
\]

### 3. Ισοδυναμία στο μηδέν

Για να βρούμε την ποσότητα που μεγιστοποιεί τα έσοδα, εξισώνουμε την παράγωγο με το μηδέν:

\[
-3(60 - 2Q)^{0.5} \cdot Q + (60 - 2Q)^{1.5} = 0
\]

Για να λύσουμε αυτή την εξίσωση, θα την απλοποιήσουμε. Ας διαιρέσουμε και τα δύο μέρη με \( (60 - 2Q)^{0.5} \):

\[
-3Q + (60 - 2Q) = 0
\]

Λύνουμε για \( Q \):

\[
60 - 2Q = 3Q
\]

\[
60 = 5Q
\]

\[
Q = \frac{60}{5} = 12
\]

### 4. Τελική απάντηση

Η ποσότητα \( Q \) που μεγιστοποιεί τα συνολικά έσοδα είναι:

\[
Q = 12
\]

Θέλεις να δεις περισσότερες λεπτομέρειες ή έχεις απορίες;

---

**Σχετικές Ερωτήσεις:**
1. Ποια είναι η τιμή \( P \) όταν η ποσότητα είναι 12;
2. Πώς υπολογίζεται το κέρδος αν γνωρίζουμε το κόστος παραγωγής;
3. Τι συμβαίνει με τα συνολικά έσοδα αν η ποσότητα αυξηθεί πάνω από 12;
4. Πώς θα άλλαζε το αποτέλεσμα αν η συνάρτηση ζήτησης ήταν διαφορετική;
5. Ποιες άλλες μέθοδοι βελτιστοποίησης μπορούν να χρησιμοποιηθούν;

**Tip**: Πάντα να ελέγχεις αν η συνάρτηση έχει πραγματικό μέγιστο ή ελάχιστο, εξετάζοντας τη δεύτερη παράγωγο.

Learn how to find the quantity that maximizes total revenue for a business with the demand function P = (60 - 2Q)^1.5. This solution covers key concepts in revenue maximization, including algebraic manipulation and the application of derivatives. Suitable for undergraduate economics or mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation