Για να βρούμε την ποσότητα $Q$ που μεγιστοποιεί τα συνολικά έσοδα μιας επιχείρησης, ξεκινάμε από τη συνάρτηση ζήτησης. Μας δίνεται ότι η συνάρτηση ζήτησης είναι:

$P = (60 - 2Q)^{1.5}$

Όπου:

• $P$ είναι η τιμή
• $Q$ είναι η ποσότητα του προϊόντος.

1. Συνολικά Έσοδα

Τα συνολικά έσοδα $R$ είναι το γινόμενο της τιμής $P$ και της ποσότητας $Q$:

$R = P \cdot Q$

Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση ζήτησης για $P$:

$R = (60 - 2Q)^{1.5} \cdot Q$

2. Μέγιστο των Συνολικών Εσόδων

Για να βρούμε το μέγιστο των συνολικών εσόδων, θα πάρουμε την παράγωγο του $R$ ως προς $Q$ και θα την εξισώσουμε με το μηδέν, καθώς το μέγιστο ή το ελάχιστο σημείο μιας συνάρτησης βρίσκεται όταν η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν.

$R(Q) = (60 - 2Q)^{1.5} \cdot Q$

Πρώτα, εφαρμόζουμε τον κανόνα του γινομένου για την παράγωγο:

$\frac{dR}{dQ} = \frac{d}{dQ} \left[ (60 - 2Q)^{1.5} \cdot Q \right]$

Ο κανόνας του γινομένου λέει ότι:

$\frac{d}{dQ}[f(Q) \cdot g(Q)] = f'(Q) \cdot g(Q) + f(Q) \cdot g'(Q)$

Ας ονομάσουμε τις δύο συνιστώσες:

• $f(Q) = (60 - 2Q)^{1.5}$
• $g(Q) = Q$

Υπολογίζουμε τις παραγώγους τους:

1. Παράγωγος του $f(Q)$: $f'(Q) = \frac{d}{dQ} \left[ (60 - 2Q)^{1.5} \right] = 1.5 \cdot (60 - 2Q)^{0.5} \cdot (-2) = -3(60 - 2Q)^{0.5}$

2. Παράγωγος του $g(Q)$: $g'(Q) = \frac{d}{dQ} \left[ Q \right] = 1$

Τώρα εφαρμόζουμε τον κανόνα του γινομένου:

$\frac{dR}{dQ} = -3(60 - 2Q)^{0.5} \cdot Q + (60 - 2Q)^{1.5}$

3. Ισοδυναμία στο μηδέν

Για να βρούμε την ποσότητα που μεγιστοποιεί τα έσοδα, εξισώνουμε την παράγωγο με το μηδέν:

$-3(60 - 2Q)^{0.5} \cdot Q + (60 - 2Q)^{1.5} = 0$

Για να λύσουμε αυτή την εξίσωση, θα την απλοποιήσουμε. Ας διαιρέσουμε και τα δύο μέρη με $(60 - 2Q)^{0.5}$:

$-3Q + (60 - 2Q) = 0$

Λύνουμε για $Q$:

$60 - 2Q = 3Q$

$60 = 5Q$

$Q = \frac{60}{5} = 12$

4. Τελική απάντηση

Η ποσότητα $Q$ που μεγιστοποιεί τα συνολικά έσοδα είναι:

$Q = 12$

Θέλεις να δεις περισσότερες λεπτομέρειες ή έχεις απορίες;

---

Σχετικές Ερωτήσεις:

1. Ποια είναι η τιμή $P$ όταν η ποσότητα είναι 12;
2. Πώς υπολογίζεται το κέρδος αν γνωρίζουμε το κόστος παραγωγής;
3. Τι συμβαίνει με τα συνολικά έσοδα αν η ποσότητα αυξηθεί πάνω από 12;
4. Πώς θα άλλαζε το αποτέλεσμα αν η συνάρτηση ζήτησης ήταν διαφορετική;
5. Ποιες άλλες μέθοδοι βελτιστοποίησης μπορούν να χρησιμοποιηθούν;

Tip: Πάντα να ελέγχεις αν η συνάρτηση έχει πραγματικό μέγιστο ή ελάχιστο, εξετάζοντας τη δεύτερη παράγωγο.