https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1727281519771dztnmk1x.jpg

L'énoncé demande de démontrer par récurrence que la suite \((u_n)\), définie par la relation :

\[
u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \sqrt{u_n + 4} \quad \text{pour tout} \quad n \in \mathbb{N}
\]

est majorée par 4, c'est-à-dire qu'on veut prouver que \( u_n \leq 4 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

### Preuve par récurrence :

1. **Initialisation** :
   Pour \( n = 0 \), on a :
   \[
   u_0 = 1
   \]
   Donc \( u_0 \leq 4 \). La propriété est vraie pour \( n = 0 \).

2. **Hérédité** :
   Supposons que la propriété soit vraie à un certain rang \( n \), c'est-à-dire que :
   \[
   u_n \leq 4
   \]
   Nous devons montrer que cela implique \( u_{n+1} \leq 4 \).

   En utilisant la relation de récurrence donnée :
   \[
   u_{n+1} = \sqrt{u_n + 4}
   \]
   Comme \( u_n \leq 4 \), on a :
   \[
   u_n + 4 \leq 4 + 4 = 8
   \]
   Ainsi :
   \[
   u_{n+1} = \sqrt{u_n + 4} \leq \sqrt{8} \approx 2.828
   \]
   Mais \( \sqrt{u_n + 4} \leq 4 \), car \( \sqrt{8} < 4 \).

   Donc, \( u_{n+1} \leq 4 \).

3. **Conclusion** :
   Par le principe de récurrence, la suite \( u_n \) est majorée par 4 pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

### Conclusion :
On a donc montré que la suite \( u_n \) est bien majorée par 4 par récurrence.

---

Avez-vous besoin de plus de détails ou d'explications supplémentaires ?

Voici quelques questions pour approfondir le sujet :
1. Pourquoi est-il nécessaire de majorer une suite dans certaines démonstrations ?
2. Quelle serait l'évolution de la suite si l'on changeait la valeur initiale \( u_0 \) ?
3. Comment prouver que la suite converge, et si oui, vers quelle valeur ?
4. Comment interpréter graphiquement la relation de récurrence \( u_{n+1} = \sqrt{u_n + 4} \) ?
5. Que se passerait-il si l'on remplaçait \( u_{n+1} \) par une autre fonction, comme \( u_{n+1} = \frac{u_n + 4}{2} \) ?

**Tip** : Lors d'une démonstration par récurrence, l'étape cruciale est de bien vérifier que la propriété se maintient à l'étape "hérédité" pour tous les cas possibles.

Démontrez par récurrence que la suite u_n est majorée par 4, où u_0 = 1 et u_{n+1} = √(u_n + 4).

Learn how to prove by induction that the sequence u_n, defined by u_0 = 1 and u_{n+1} = √(u_n + 4), is bounded by 4. This problem involves advanced topics in sequences, recursion, and inequalities. Suitable for advanced high school or early university students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation