L'énoncé demande de démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$, définie par la relation :

$u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \sqrt{u_n + 4} \quad \text{pour tout} \quad n \in \mathbb{N}$

est majorée par 4, c'est-à-dire qu'on veut prouver que $u_n \leq 4$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Preuve par récurrence :

1. Initialisation : Pour $n = 0$, on a : $u_0 = 1$ Donc $u_0 \leq 4$. La propriété est vraie pour $n = 0$.

2. Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie à un certain rang $n$, c'est-à-dire que : $u_n \leq 4$ Nous devons montrer que cela implique $u_{n+1} \leq 4$.

   En utilisant la relation de récurrence donnée : $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 4}$ Comme $u_n \leq 4$, on a : $u_n + 4 \leq 4 + 4 = 8$ Ainsi : $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 4} \leq \sqrt{8} \approx 2.828$ Mais $\sqrt{u_n + 4} \leq 4$, car $\sqrt{8} < 4$.

   Donc, $u_{n+1} \leq 4$.

3. Conclusion : Par le principe de récurrence, la suite $u_n$ est majorée par 4 pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Conclusion :

On a donc montré que la suite $u_n$ est bien majorée par 4 par récurrence.

Avez-vous besoin de plus de détails ou d'explications supplémentaires ?

Voici quelques questions pour approfondir le sujet :

1. Pourquoi est-il nécessaire de majorer une suite dans certaines démonstrations ?
2. Quelle serait l'évolution de la suite si l'on changeait la valeur initiale $u_0$ ?
3. Comment prouver que la suite converge, et si oui, vers quelle valeur ?
4. Comment interpréter graphiquement la relation de récurrence $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 4}$ ?
5. Que se passerait-il si l'on remplaçait $u_{n+1}$ par une autre fonction, comme $u_{n+1} = \frac{u_n + 4}{2}$ ?

Tip : Lors d'une démonstration par récurrence, l'étape cruciale est de bien vérifier que la propriété se maintient à l'étape "hérédité" pour tous les cas possibles.