HALLA LA ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS A=(1,2,-3) y B=(2,-1,3)

Para hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(1, 2, -3) \) y \( B(2, -1, 3) \) en el espacio tridimensional, seguimos estos pasos:

### Paso 1: Calculamos el vector director de la recta

El vector director de la recta se obtiene restando las coordenadas de \( A \) y \( B \):

\[
\mathbf{v} = \overrightarrow{AB} = (2 - 1, -1 - 2, 3 - (-3)) = (1, -3, 6)
\]

Este vector \( \mathbf{v} = (1, -3, 6) \) es el vector director de la recta.

### Paso 2: Usamos la forma paramétrica de la ecuación de la recta

La ecuación paramétrica de la recta en el espacio tridimensional es:

\[
\mathbf{r}(t) = \mathbf{A} + t \cdot \mathbf{v}
\]

Donde \( \mathbf{r}(t) \) es un punto genérico sobre la recta, \( \mathbf{A} = (1, 2, -3) \) es el punto dado, \( \mathbf{v} = (1, -3, 6) \) es el vector director, y \( t \) es el parámetro.

Entonces, la ecuación paramétrica de la recta es:

\[
(x, y, z) = (1, 2, -3) + t(1, -3, 6)
\]

Esto se puede escribir como el siguiente sistema de ecuaciones:

\[
x = 1 + t
\]
\[
y = 2 - 3t
\]
\[
z = -3 + 6t
\]

### Conclusión

La ecuación paramétrica de la recta es:

\[
x = 1 + t
\]
\[
y = 2 - 3t
\]
\[
z = -3 + 6t
\]

donde \( t \) es un parámetro real.

---

¿Te gustaría ver una representación gráfica de esta recta o necesitas más detalles sobre algún paso?

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**Tip**: Al trabajar con ecuaciones paramétricas de rectas, siempre recuerda que las componentes \( x, y, z \) están relacionadas por el mismo parámetro \( t \), lo que permite representarlas de manera compacta.

Learn how to find the parametric equation of a line passing through the points A(1,2,-3) and B(2,-1,3) in 3D space. This detailed solution includes vector algebra and the parametric representation of lines, suitable for high school students in Grades 10-12.

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