Для нахождения канонического и параметрического уравнений прямой $AB$, а также точек пересечения этой прямой с координатными плоскостями, давайте пошагово решим задачу.

1. Каноническое уравнение прямой $AB$

Прямая $AB$ проходит через две точки $A(2, 2, 3)$ и $B(2, 4, 2)$. Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид:

$\vec{r} = \vec{A} + t \cdot \vec{AB}$

где $\vec{A}$ — это вектор, исходящий из начала координат и направленный в точку $A$, а $\vec{AB}$ — вектор, соединяющий точки $A$ и $B$.

Вектор $\vec{AB}$ можно вычислить как разность координат точек $B$ и $A$:

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (2 - 2, 4 - 2, 2 - 3) = (0, 2, -1)$

Таким образом, каноническое уравнение прямой $AB$ будет:

$\vec{r} = (2, 2, 3) + t(0, 2, -1)$

Или в компонентном виде:

x = 2 \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases}$$ ### 2. Параметрическое уравнение прямой $$AB$$ Параметрическое уравнение прямой также может быть записано через параметры $$t$$, но в общем виде будет выглядеть как: $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases}$$ Таким образом, параметрическое уравнение совпадает с компонентным уравнением. ### 3. Точки пересечения прямой с координатными плоскостями Теперь найдем точки пересечения прямой с плоскостями, задающими координатные оси. #### 3.1. Пересечение с плоскостью $$xy$$ (где $$z = 0$$) Подставим $$z = 0$$ в уравнение прямой $$z = 3 - t$$: $$0 = 3 - t \quad \Rightarrow \quad t = 3$$ Теперь подставим это значение $$t = 3$$ в уравнения для $$x$$ и $$y$$: $$x = 2 \\ y = 2 + 2(3) = 8$$ Таким образом, точка пересечения прямой с плоскостью $$xy$$ — это $$(2, 8, 0)$$. #### 3.2. Пересечение с плоскостью $$xz$$ (где $$y = 0$$) Подставим $$y = 0$$ в уравнение прямой $$y = 2 + 2t$$: $$0 = 2 + 2t \quad \Rightarrow \quad t = -1$$ Теперь подставим это значение $$t = -1$$ в уравнения для $$x$$ и $$z$$: $$x = 2 \\ z = 3 - (-1) = 4$$ Таким образом, точка пересечения прямой с плоскостью $$xz$$ — это $$(2, 0, 4)$$. #### 3.3. Пересечение с плоскостью $$yz$$ (где $$x = 0$$) Подставим $$x = 0$$ в уравнение прямой $$x = 2$$, что невозможно, так как $$x$$ всегда равно 2 для данной прямой. Это означает, что прямая $$AB$$ не пересекает плоскость $$yz$$. ### Ответ: 1. **Каноническое уравнение прямой $$AB$$:** $$\vec{r} = (2, 2, 3) + t(0, 2, -1)$$ 2. **Параметрическое уравнение прямой $$AB$$:** $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases}$$ 3. **Точки пересечения прямой с координатными плоскостями:** - С плоскостью $$xy$$: $$(2, 8, 0)$$ - С плоскостью $$xz$$: $$(2, 0, 4)$$ - Прямая не пересекает плоскость $$yz$$. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно подробное объяснение, не стесняйтесь спросить! ### Дополнительные вопросы: 1. Как вычислить уравнение прямой, проходящей через две произвольные точки в пространстве? 2. Как определить точку пересечения прямой и плоскости, заданной уравнением? 3. Как находить пересечения прямых и плоскостей для произвольных уравнений? 4. Какие методы существуют для нахождения расстояния между точками и прямыми в пространстве? 5. Как решить задачу нахождения угла между двумя прямыми в пространстве? **Совет:** Для нахождения пересечений прямых с плоскостями всегда лучше начать с подстановки уравнения прямой в уравнение плоскости.