Soitf :Z→Nl’applicationdéfiniepar: f(n)=    n2−1 sin>0 0 sin≤0 1.Déterminerf−1({0,3}).$$  $$

L'application $ f : \mathbb{Z} \to \mathbb{N} $ est définie par :

\[
f(n) = 
\begin{cases}
n^2 - 1 & \text{si } n > 0 \\
0 & \text{si } n \leq 0
\end{cases}
\]

Nous devons déterminer $ f^{-1}(\{0, 3\}) $, c'est-à-dire l'ensemble des entiers $ n $ tels que $ f(n) $ soit égal à 0 ou 3.

1. **Pour $ f(n) = 0 $ :**
   \[
   f(n) = 0 \quad \text{si et seulement si } n \leq 0
   \]
   Donc, tous les entiers négatifs ou nuls $ n \leq 0 $ appartiennent à $ f^{-1}(\{0\}) $. Autrement dit, $ f^{-1}(\{0\}) = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \leq 0 \} $.

2. **Pour $ f(n) = 3 $ :**
   \[
   f(n) = n^2 - 1 = 3 \quad \text{si et seulement si } n > 0
   \]
   \[
   n^2 = 4 \quad \text{donc } n = 2 \quad \text{(car $ n $ doit être positif)}
   \]
   Ainsi, $ f(2) = 3 $.

Donc, $ f^{-1}(\{3\}) = \{2\} $.

En conclusion, l'ensemble des antécédents de 0 et 3 par l'application $ f $ est :
\[
f^{-1}(\{0, 3\}) = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \leq 0 \} \cup \{2\}
\]

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ? 

Voici quelques questions connexes :
1. Que se passe-t-il si on veut $ f^{-1}(\{1, 4\}) $ ?
2. Quelle est l'image de $ f $ sur $\mathbb{Z}$ ?
3. Comment généraliser $ f $ pour $ f(n) = n^2 - k $ ?
4. Peut-on restreindre l'application $ f $ à $\mathbb{N}$ pour obtenir une fonction bijective ?
5. Quelle est la nature de $ f $ sur $\mathbb{N}$ (injective, surjective, etc.) ?

**Conseil :** Pour étudier une fonction, commencez par déterminer le domaine, l'image et les points où elle prend des valeurs spécifiques.

Soit f : Z → N l’application définie par: f(n) = {n^2 - 1 si n > 0, 0 si n ≤ 0}. Déterminer f−1({0, 3}).

Discover how to find the inverse of a function defined by f(n) = {n^2 - 1 if n > 0, 0 if n ≤ 0}, and solve for f−1({0, 3}). This problem involves quadratic equations and inverse function concepts, suitable for students in Grades 10-12.

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