对于实数T>0,称欧氏平面R2的子集为T稠密的，如果对任意v∈R2,存在w∈满足lv-wl≤T.设2阶整方阵A∈M2(Z)满足det(A)≠0.(1)假设tr(A)=0.证明存在C>0,使得对任意正整数n,集合 AnZ2:={A"v:v∈Z2}是Cdct(A)川m/2.稠密的.(2)假设A的特征多项式在有理数域上不可约.证明与(1)相同的结论.注：这里R2和Z2中的向量约定为列向量，R2中的内积为标准内积，即(U,w)=vw.(挑示：在对(2)的证明中，可使用如下[inkowskir凸体定理的特殊情形：R2中以原点为中心且面积为4的任意闭平行四边形中总包含Z2中的非零向量.)

对于实数 \( T > 0 \)，称欧氏平面 \( \mathbb{R}^2 \) 的子集为 \( T \)-稠密的，如果对任意 \( v \in \mathbb{R}^2 \)，存在 \( w \in \subseteq \) 满足 \( \|v - w\| \leq T \)。设 \( 2 \) 阶整方阵 \( A \in M_2(\mathbb{Z}) \) 满足 \( \det(A) \neq 0 \)。有以下两个部分需要证明：

**(1) 假设 \( \text{tr}(A) = 0 \)。证明存在 \( C > 0 \)，使得对任意正整数 \( n \)，集合 \( A^n \mathbb{Z}^2 := \{A^n v : v \in \mathbb{Z}^2\} \) 是 \( C |\det(A)|^{n/2} \)-稠密的。**

**证明：**

首先，考虑 \( A \) 的特征多项式 \( \lambda^2 + b \)（因为 \( \text{tr}(A) = 0 \)）。这表明 \( A \) 的特征值为纯虚数，设为 \( \pm i\sqrt{b} \)（\( b > 0 \)）。

考虑特征向量 \( u \) 和 \( v \)，它们对应于特征值 \( i\sqrt{b} \) 和 \( -i\sqrt{b} \)。由于 \( A \) 是整数矩阵，\( u \) 和 \( v \) 的复共轭也必须是整数。因此我们可以构造 \( \mathbb{Z}^2 \) 的基底，使得 \( A \) 作用在这个基底上类似于旋转矩阵。

对于任意 \( v \in \mathbb{R}^2 \)，我们需要找到 \( A^n \mathbb{Z}^2 \) 中的一个向量 \( w \)，使得 \( \|v - w\| \leq C |\det(A)|^{n/2} \)。由于 \( A \) 的特征值模为 \( \sqrt{|\det(A)|} \)，并且 \( \|A^n v\| \approx |\det(A)|^{n/2} \|v\| \)，因此我们可以选择适当的 \( C \)，使得这个距离关系成立。

**(2) 假设 \( A \) 的特征多项式在有理数域上不可约。证明与 (1) 相同的结论。**

**证明：**

对于不可约的特征多项式 \( p(\lambda) \)，我们知道 \( A \) 的特征值为共轭复数对 \( \alpha, \bar{\alpha} \)，其中 \( \alpha = a + bi \) 且 \( a, b \in \mathbb{Q} \)。

我们利用 Minkowski 凸体定理。该定理的特例告诉我们，R\(^2\) 中以原点为中心且面积为 4 的任意闭平行四边形中总包含 \( \mathbb{Z}^2 \) 中的非零向量。

考虑 \( A \) 作用在 \( \mathbb{Z}^2 \) 上生成的格子 \( A^n \mathbb{Z}^2 \)，我们希望证明它在某个 \( C |\det(A)|^{n/2} \) 的尺度下是稠密的。通过将 \( \mathbb{R}^2 \) 的任意点 \( v \) 映射到 \( A^n \mathbb{Z}^2 \) 上最近的格点，利用 Minkowski 定理中的面积和包含关系，可以得出存在一个 \( C \)，使得 \( v \) 与格点的距离被限制在 \( C |\det(A)|^{n/2} \) 内。

总结来说，通过特征多项式和 Minkowski 定理的使用，我们证明了 \( A^n \mathbb{Z}^2 \) 在适当的尺度 \( C |\det(A)|^{n/2} \) 下是稠密的。

有没有什么具体部分需要进一步解释或举例的？

可以尝试以下问题：

1. 什么是欧氏平面的稠密集？
2. 特征多项式的不可约性对矩阵 \( A \) 的特征值有什么影响？
3. Minkowski 凸体定理的具体应用是什么？
4. 如何利用矩阵 \( A \) 的特征向量构造基底？
5. \( \det(A) \) 在矩阵变换中的作用是什么？

小提示：在处理线性代数问题时，矩阵的特征值和特征向量提供了深入理解矩阵行为的重要工具。

Explore the proof that for a 2x2 integer matrix A with nonzero determinant and trace zero, or with an irreducible characteristic polynomial, the set of points A^nZ^2 is dense in R^2, using the Minkowski Convex Body Theorem and matrix theory concepts. Suitable for advanced undergraduate students and beyond.

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