Для нахождения координат точки пересечения плоскости с прямой нам нужно следовать следующим шагам:

Шаг 1. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A$, $B$, $C$.

Уравнение плоскости имеет вид:
$Ax + By + Cz + D = 0,$ где $(A, B, C)$ — нормальный вектор плоскости. Для его нахождения воспользуемся векторным произведением векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$.

Векторы:

$\overrightarrow{AB} = (4 - (-1), 1 - 4, 5 - 2) = (5, -3, 3),$ $\overrightarrow{AC} = (-3 - (-1), 6 - 4, 1 - 2) = (-2, 2, -1).$

Векторное произведение:

\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & -3 & 3 \\ -2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3)(-1) - (3)(2)) - \mathbf{j}((5)(-1) - (3)(-2)) + \mathbf{k}((5)(2) - (-3)(-2)).$$ Рассчитаем: $$\overrightarrow{n} = \mathbf{i}(3 - 6) - \mathbf{j}(-5 + 6) + \mathbf{k}(10 - 6),$$ $$\overrightarrow{n} = \mathbf{i}(-3) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(4) = (-3, -1, 4).$$ Таким образом, нормальный вектор $$\overrightarrow{n} = (-3, -1, 4)$$. #### Уравнение плоскости: Подставим точку $$A(-1, 4, 2)$$ в уравнение плоскости $$-3x - y + 4z + D = 0$$, чтобы найти $$D$$: $$-3(-1) - 4 + 4(2) + D = 0,$$ $$3 - 4 + 8 + D = 0,$$ $$D = -7.$$ Уравнение плоскости: $$-3x - y + 4z - 7 = 0.$$ --- ### Шаг 2. Найдем параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки $$D(2, 2, 4)$$ и $$E(26, -10, 20)$$. Направляющий вектор прямой: $$\overrightarrow{DE} = (26 - 2, -10 - 2, 20 - 4) = (24, -12, 16).$$ Параметрическое уравнение прямой: $$x = 2 + 24t,\quad y = 2 - 12t,\quad z = 4 + 16t, \quad t \in \mathbb{R}.$$ --- ### Шаг 3. Найдем точку пересечения прямой с плоскостью. Подставим параметрические выражения $$x = 2 + 24t$$, $$y = 2 - 12t$$, $$z = 4 + 16t$$ в уравнение плоскости: $$-3x - y + 4z - 7 = 0.$$ Подставим: $$-3(2 + 24t) - (2 - 12t) + 4(4 + 16t) - 7 = 0.$$ Раскроем скобки: $$-6 - 72t - 2 + 12t + 16 + 64t - 7 = 0.$$ Соберем подобные члены: $$(-72t + 12t + 64t) + (-6 - 2 + 16 - 7) = 0,$$ $$4t + 1 = 0.$$ Найдем $$t$$: $$t = -\frac{1}{4}.$$ --- ### Шаг 4. Найдем координаты точки пересечения. Подставим $$t = -\frac{1}{4}$$ в параметрическое уравнение прямой: $$x = 2 + 24\left(-\frac{1}{4}\right) = 2 - 6 = -4,$$ $$y = 2 - 12\left(-\frac{1}{4}\right) = 2 + 3 = 5,$$ $$z = 4 + 16\left(-\frac{1}{4}\right) = 4 - 4 = 0.$$ --- ### Ответ: Координаты точки пересечения: $$(-4, 5, 0).$$ --- Есть ли вопросы или хотите подробнее разобрать решение? #### 5 дополнительных вопросов: 1. Как находить нормальный вектор для плоскости через три точки? 2. Что такое векторное произведение, и как его использовать? 3. Как записать параметрическое уравнение прямой через две точки? 4. Как проверить, пересекаются ли плоскость и прямая вообще? 5. Что делать, если уравнение плоскости получается сложным? #### Полезный совет: Если прямую и плоскость задают в пространстве, всегда проверяйте, параллельны ли они, чтобы избежать лишних вычислений.