Для нахождения координат точки пересечения плоскости и прямой, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

Плоскость, проходящая через три точки, имеет уравнение вида:

$Ax + By + Cz + D = 0$

где $A$, $B$, $C$ — коэффициенты, которые можно найти через векторное произведение двух направляющих векторов плоскости. Для этого сначала находим два вектора, лежащих в плоскости:

$\overrightarrow{AB} = B - A = (-2 + 4, -3 + 1, -2 + 1) = (2, -2, -1)$ $\overrightarrow{AC} = C - A = (-5 + 4, 1 + 1, 0 + 1) = (-1, 2, 1)$

Теперь вычислим векторное произведение $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$:

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Вычислим детерминант: $$\overrightarrow{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$= \mathbf{i}((-2)(1) - (-1)(2)) - \mathbf{j}((2)(1) - (-1)(-1)) + \mathbf{k}((2)(2) - (-2)(-1))$$ $$= \mathbf{i}(-2 + 2) - \mathbf{j}(2 - 1) + \mathbf{k}(4 - 2)$$ $$= 0\mathbf{i} - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(2)$$ $$\overrightarrow{n} = (-1, 2, 0)$$ Таким образом, уравнение плоскости будет: $$-1(x + 4) + 2(y + 1) + 0(z + 1) = 0$$ Упростим его: $$-x - 4 + 2y + 2 = 0$$ $$-x + 2y - 2 = 0$$ $$x - 2y = -2$$ Итак, уравнение плоскости: $$x - 2y = -2$$ 2. **Найдем уравнение прямой, проходящей через точки D и E**. Прямая, проходящая через две точки, имеет параметрическое уравнение: $$\mathbf{r}(t) = D + t (E - D)$$ Вычислим вектор $$\overrightarrow{DE}$$: $$\overrightarrow{DE} = E - D = (-14 + 5, 3 - 0, 3 - 0) = (-9, 3, 3)$$ Тогда параметрическое уравнение прямой будет: $$(x, y, z) = (-5, 0, 0) + t(-9, 3, 3)$$ Это можно записать как систему: $$x = -5 - 9t$$ $$y = 3t$$ $$z = 3t$$ 3. **Подставим уравнение прямой в уравнение плоскости**. Из уравнения плоскости $$x - 2y = -2$$ подставим $$x = -5 - 9t$$ и $$y = 3t$$: $$(-5 - 9t) - 2(3t) = -2$$ Упростим: $$-5 - 9t - 6t = -2$$ $$-5 - 15t = -2$$ $$-15t = 3$$ $$t = -\frac{1}{5}$$ 4. **Найдем координаты точки пересечения**. Подставим $$t = -\frac{1}{5}$$ в параметрическое уравнение прямой: $$x = -5 - 9(-\frac{1}{5}) = -5 + \frac{9}{5} = -\frac{25}{5} + \frac{9}{5} = -\frac{16}{5}$$ $$y = 3(-\frac{1}{5}) = -\frac{3}{5}$$ $$z = 3(-\frac{1}{5}) = -\frac{3}{5}$$ Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты: $$\left( -\frac{16}{5}, -\frac{3}{5}, -\frac{3}{5} \right)$$ Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна подробная объяснение, не стесняйтесь спрашивать! Вот несколько связанных вопросов: 1. Как найти уравнение плоскости, если заданы три точки? 2. Что такое векторное произведение и как его вычислять? 3. Как записывать уравнение прямой в параметрической форме? 4. Как решать системы уравнений для нахождения точек пересечения? 5. В чем отличие между векторным и скалярным произведением? **Совет**: Чтобы найти точку пересечения, важно правильно подставить параметрические уравнения в уравнение плоскости, так как это позволит вам выразить одно из переменных через параметр и решить систему.