Для нахождения координаты точки пересечения плоскости, заданной тремя точками $A(-2, -1, 2)$, $B(0, -2, 3)$, $C(-5, 1, 0)$, с прямой, проходящей через точки $D(0, -2, 4)$ и $E(14, -10, 14)$, выполним следующие шаги:

---

1. Уравнение плоскости

Плоскость, проходящая через три точки, можно описать векторным уравнением. Для этого:

1. Вычислим два направляющих вектора: $\vec{AB} = B - A = (0 - (-2), -2 - (-1), 3 - 2) = (2, -1, 1),$ $\vec{AC} = C - A = (-5 - (-2), 1 - (-1), 0 - 2) = (-3, 2, -2).$

2. Найдем векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC}$, чтобы получить нормаль плоскости $\vec{n} = (A, B, C)$:

   \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-2) - (1)(2)) - \mathbf{j}((2)(-2) - (1)(-3)) + \mathbf{k}((2)(2) - (-1)(-3)).$$ После вычислений: $$\vec{n} = (2 - 2)\mathbf{i} - (-4 - 3)\mathbf{j} + (4 - 3)\mathbf{k} = (0, 7, 1).$$ Таким образом, уравнение плоскости: $$7x + y + D = 0.$$

3. Подставим точку $A(-2, -1, 2)$, чтобы найти $D$: $7(-2) + (-1) + D = 0 \implies -14 - 1 + D = 0 \implies D = 15.$ Уравнение плоскости: $7x + y + 15 = 0.$

---

2. Уравнение прямой

Направляющий вектор прямой: $\vec{DE} = E - D = (14 - 0, -10 - (-2), 14 - 4) = (14, -8, 10).$ Параметрическое уравнение прямой: $x = 0 + 14t, \quad y = -2 - 8t, \quad z = 4 + 10t, \quad t \in \mathbb{R}.$

---

3. Подставим уравнение прямой в уравнение плоскости

Подставляем $x = 14t$, $y = -2 - 8t$, $z = 4 + 10t$ в уравнение $7x + y + 15 = 0$: $7(14t) + (-2 - 8t) + 15 = 0.$ Раскроем скобки: $98t - 2 - 8t + 15 = 0 \implies 90t + 13 = 0.$ Найдем $t$: $t = -\frac{13}{90}.$

---

4. Найдем координаты точки пересечения

Подставляем $t = -\frac{13}{90}$ в параметрические уравнения прямой: $x = 14t = 14 \cdot \left(-\frac{13}{90}\right) = -\frac{182}{45},$ $y = -2 - 8t = -2 - 8 \cdot \left(-\frac{13}{90}\right) = -2 + \frac{104}{90} = -2 + \frac{52}{45} = -\frac{38}{45},$ $z = 4 + 10t = 4 + 10 \cdot \left(-\frac{13}{90}\right) = 4 - \frac{130}{90} = 4 - \frac{13}{9} = \frac{36}{9} - \frac{13}{9} = \frac{23}{9}.$

---

Ответ

Координаты точки пересечения: $\left( -\frac{182}{45}, -\frac{38}{45}, \frac{23}{9} \right).$

---

Хотите подробное объяснение какого-то из шагов?

Вопросы для углубления:

1. Как вычислить векторное произведение двух векторов?
2. Какие свойства параметрического уравнения прямой наиболее важны?
3. Как интерпретировать геометрически нормаль плоскости?
4. Как проверить точность найденного решения?
5. Могут ли три точки быть неколлинеарными, но не задавать плоскость? Почему?

Совет:

При работе с параметрическими уравнениями всегда проверяйте совместимость с исходными условиями.