Для нахождения координат точки пересечения плоскости с прямой, нам нужно решить систему уравнений плоскости и прямой.

1. Уравнение плоскости

Плоскость проходит через три точки: $A = (-4, -1, -1)$, $B = (-2, -3, -2)$ и $C = (-5, 1, 0)$.

Чтобы найти уравнение плоскости, нужно вычислить два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{AB} = B - A = (-2 + 4, -3 + 1, -2 + 1) = (2, -2, -1)$ $\vec{AC} = C - A = (-5 + 4, 1 + 1, 0 + 1) = (-1, 2, 1)$

Теперь находим нормаль к плоскости, вычисляя векторное произведение этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$

Вычислим это векторное произведение:

2 & -2 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Разворачиваем определитель: $$\vec{n} = \hat{i} \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Вычислим каждый минор: $$\hat{i}: (-2)(1) - (-1)(2) = -2 + 2 = 0$$ $$\hat{j}: (2)(1) - (-1)(-1) = 2 - 1 = 1$$ $$\hat{k}: (2)(2) - (-2)(-1) = 4 - 2 = 2$$ Таким образом, вектор нормали: $$\vec{n} = (0, -1, 2)$$ Теперь у нас есть нормаль к плоскости. Уравнение плоскости будет иметь вид: $$0(x - (-4)) - 1(y - (-1)) + 2(z - (-1)) = 0$$ $$-(y + 1) + 2(z + 1) = 0$$ $$-y - 1 + 2z + 2 = 0$$ $$-y + 2z + 1 = 0$$ $$y = 2z + 1$$ Это уравнение плоскости. ### 2. Уравнение прямой Прямая проходит через точки $$D = (-5, 0, 0)$$ и $$E = (-14, 3, 3)$$. Уравнение прямой в параметрической форме можно записать как: $$\mathbf{r}(t) = D + t \cdot (E - D)$$ Вектор направления прямой $$\vec{DE} = E - D = (-14 + 5, 3 - 0, 3 - 0) = (-9, 3, 3)$$. Тогда параметрическое уравнение прямой: $$x = -5 - 9t$$ $$y = 0 + 3t$$ $$z = 0 + 3t$$ ### 3. Пересечение прямой и плоскости Подставим параметры прямой в уравнение плоскости $$y = 2z + 1$$. Из уравнения прямой $$y = 3t$$ и $$z = 3t$$. Подставим в уравнение плоскости: $$3t = 2(3t) + 1$$ $$3t = 6t + 1$$ $$3t - 6t = 1$$ $$-3t = 1$$ $$t = -\frac{1}{3}$$ Теперь подставим $$t = -\frac{1}{3}$$ в параметрические уравнения прямой: $$x = -5 - 9\left(-\frac{1}{3}\right) = -5 + 3 = -2$$ $$y = 3\left(-\frac{1}{3}\right) = -1$$ $$z = 3\left(-\frac{1}{3}\right) = -1$$ Таким образом, координаты точки пересечения равны: $$(-2, -1, -1)$$ ### Ответ: Координаты точки пересечения плоскости и прямой — $$(-2, -1, -1)$$. Если вам нужно больше объяснений или деталей, дайте знать! Также вот несколько вопросов для практики: 1. Как можно использовать векторное произведение для нахождения нормали к плоскости? 2. В чем заключается отличие между параметрической и канонической формой уравнения прямой? 3. Как можно определить точку пересечения прямой и плоскости с помощью матриц? 4. Как можно вычислить углы между двумя плоскостями? 5. В чем заключается роль векторного произведения в 3D-геометрии? **Совет**: Важно помнить, что параметрическое уравнение прямой описывает её через движение вдоль направления вектора.