Первая прямая проходит через точки А = (3,2,7) и
B = (5,3,8). Вторая прямая проходит через точки С = (2,-1,4) и D = (3,-1,4). Найти координаты точки пересечения этих прямых.

Для нахождения точки пересечения двух прямых в трёхмерном пространстве, сначала зададим их в параметрическом виде, а затем найдем условие их пересечения.

---

### 1. Параметрические уравнения прямых

#### Прямая \( AB \):
Точки \( A(3, 2, 7) \) и \( B(5, 3, 8) \). Направляющий вектор:
\[
\vec{AB} = (5 - 3, 3 - 2, 8 - 7) = (2, 1, 1).
\]
Параметрическое уравнение:
\[
x = 3 + 2t, \quad y = 2 + t, \quad z = 7 + t, \quad t \in \mathbb{R}.
\]

#### Прямая \( CD \):
Точки \( C(2, -1, 4) \) и \( D(3, -1, 4) \). Направляющий вектор:
\[
\vec{CD} = (3 - 2, -1 - (-1), 4 - 4) = (1, 0, 0).
\]
Параметрическое уравнение:
\[
x = 2 + s, \quad y = -1, \quad z = 4, \quad s \in \mathbb{R}.
\]

---

### 2. Условие пересечения прямых
Для точки пересечения её координаты \( (x, y, z) \) должны удовлетворять обоим параметрическим уравнениям. Запишем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
3 + 2t = 2 + s, \\
2 + t = -1, \\
7 + t = 4.
\end{cases}
\]

---

### 3. Решение системы
1. Из второго уравнения:
\[
t = -3.
\]

2. Подставим \( t = -3 \) в третье уравнение:
\[
7 + (-3) = 4 \quad \text{(выполняется)}.
\]

3. Подставим \( t = -3 \) в первое уравнение, чтобы найти \( s \):
\[
3 + 2(-3) = 2 + s, \quad 3 - 6 = 2 + s, \quad s = -5.
\]

---

### 4. Найдём координаты точки пересечения
Подставим \( t = -3 \) в уравнения прямой \( AB \):
\[
x = 3 + 2(-3) = -3, \quad y = 2 + (-3) = -1, \quad z = 7 + (-3) = 4.
\]

Точка пересечения:
\[
P(-3, -1, 4).
\]

---

### Ответ:
Координаты точки пересечения прямых: \( P(-3, -1, 4) \).

---

Хотите подробнее разобрать решение или задать вопросы?  
**5 вопросов для размышления:**
1. Как определить взаимное расположение прямых в пространстве?
2. Что происходит, если прямые не пересекаются?
3. Как найти угол между прямыми?
4. Какие другие методы используются для определения точки пересечения?
5. Как использовать метод векторного произведения в подобных задачах?

**Совет:** всегда проверяйте решение, подставляя координаты точки пересечения в оба параметрических уравнения.

Первая прямая проходит через точки А = (3,2,7) и B = (5,3,8). Вторая прямая проходит через точки С = (2,-1,4) и D = (3,-1,4). Найти координаты точки пересечения этих прямых.

Discover how to find the intersection of two 3D lines passing through points A(3,2,7), B(5,3,8), C(2,-1,4), and D(3,-1,4). Learn about parametric equations, analytic geometry, and solving systems of equations for 3D intersection. Perfect for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation