Шаг 1: Уравнение плоскости, проходящей через три точки $A$, $B$ и $C$

Уравнение плоскости можно найти с помощью векторного нормального произведения. Пусть точки заданы как:

• $A = (-1, 4, 2)$
• $B = (4, 1, 5)$
• $C = (-3, 6, 1)$

1. Находим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:
   $\vec{AB} = B - A = (4 - (-1), 1 - 4, 5 - 2) = (5, -3, 3)$ $\vec{AC} = C - A = (-3 - (-1), 6 - 4, 1 - 2) = (-2, 2, -1)$

2. Найдем векторное произведение $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$, которое будет нормалью к плоскости:

\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & -3 & 3 \\ -2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}((-3)(-1) - (3)(2)) - \vec{j}((5)(-1) - (3)(-2)) + \vec{k}((5)(2) - (-3)(-2))$$ $$= \vec{i}(3 - 6) - \vec{j}(-5 + 6) + \vec{k}(10 - 6)$$ $$= \vec{i}(-3) - \vec{j}(1) + \vec{k}(4)$$ $$\vec{n} = (-3, -1, 4)$$ Теперь уравнение плоскости имеет вид: $$-3(x + 1) - (y - 4) + 4(z - 2) = 0$$ Упрощаем: $$-3x - 3 - y + 4 + 4z - 8 = 0$$ $$-3x - y + 4z = 7$$ --- ### Шаг 2: Уравнение прямой, проходящей через точки $$D$$ и $$E$$ Прямая задается параметрически: $$\vec{r}(t) = D + t \cdot \vec{DE}$$ Найдем вектор $$\vec{DE} = E - D$$: $$\vec{DE} = (26 - 2, -10 - 2, 20 - 4) = (24, -12, 16)$$ Параметрические уравнения прямой: $$x = 2 + 24t, \quad y = 2 - 12t, \quad z = 4 + 16t$$ --- ### Шаг 3: Подставляем параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости Подставляем $$x = 2 + 24t$$, $$y = 2 - 12t$$, $$z = 4 + 16t$$ в уравнение плоскости $$-3x - y + 4z = 7$$: $$-3(2 + 24t) - (2 - 12t) + 4(4 + 16t) = 7$$ Раскрываем скобки: $$-6 - 72t - 2 + 12t + 16 + 64t = 7$$ $$-8 + 4t + 80t = 7$$ $$84t = 15$$ $$t = \frac{15}{84} = \frac{5}{28}$$ --- ### Шаг 4: Находим координаты точки пересечения Подставляем $$t = \frac{5}{28}$$ в параметрические уравнения прямой: $$x = 2 + 24 \cdot \frac{5}{28} = 2 + \frac{120}{28} = 2 + \frac{30}{7} = \frac{44}{7}$$ $$y = 2 - 12 \cdot \frac{5}{28} = 2 - \frac{60}{28} = 2 - \frac{15}{7} = \frac{-1}{7}$$ $$z = 4 + 16 \cdot \frac{5}{28} = 4 + \frac{80}{28} = 4 + \frac{20}{7} = \frac{48}{7}$$ --- ### Ответ: Координаты точки пересечения: $$\left( \frac{44}{7}, \frac{-1}{7}, \frac{48}{7} \right)$$ --- Хотите подробное объяснение какого-либо шага? Вот 5 вопросов для размышления: 1. Как найти уравнение плоскости через три точки? 2. Что такое векторное произведение, и как оно связано с нормалью плоскости? 3. Как задать уравнение прямой через две точки? 4. Почему важно подставлять параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости? 5. Как найти точку пересечения прямой и плоскости? **Совет:** всегда проверяйте результат, подставляя координаты точки пересечения обратно в исходные уравнения.