Math Problem Statement

Первая прямая проходит через точки A = (4, 6, 2) и B = (4, 7, 2). Вторая прямая проходит через точки C = (−6, 11, 7) и D = (−8, 13, 8). Найти координаты точки пересечения этих прямых.

Solution

Для нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве, нужно решить систему уравнений, полученную из параметрических уравнений этих прямых.

1. Параметрические уравнения прямых

Первая прямая

Прямая проходит через точки A(4,6,2)A(4, 6, 2) и B(4,7,2)B(4, 7, 2). Вектор направления этой прямой можно найти как разность координат точек BAB - A: v1=BA=(44,76,22)=(0,1,0)\mathbf{v_1} = B - A = (4 - 4, 7 - 6, 2 - 2) = (0, 1, 0) Параметрическое уравнение первой прямой: r1(t)=A+tv1=(4,6,2)+t(0,1,0)=(4,6+t,2)\mathbf{r_1}(t) = A + t \cdot \mathbf{v_1} = (4, 6, 2) + t \cdot (0, 1, 0) = (4, 6 + t, 2) где tt — параметр.

Вторая прямая

Прямая проходит через точки C(6,11,7)C(-6, 11, 7) и D(8,13,8)D(-8, 13, 8). Вектор направления этой прямой: v2=DC=(8+6,1311,87)=(2,2,1)\mathbf{v_2} = D - C = (-8 + 6, 13 - 11, 8 - 7) = (-2, 2, 1) Параметрическое уравнение второй прямой: r2(s)=C+sv2=(6,11,7)+s(2,2,1)=(62s,11+2s,7+s)\mathbf{r_2}(s) = C + s \cdot \mathbf{v_2} = (-6, 11, 7) + s \cdot (-2, 2, 1) = (-6 - 2s, 11 + 2s, 7 + s) где ss — параметр.

2. Решение системы уравнений

Для нахождения точки пересечения прямых приравняем параметрические уравнения: (4,6+t,2)=(62s,11+2s,7+s)(4, 6 + t, 2) = (-6 - 2s, 11 + 2s, 7 + s)

Теперь решим систему из 3 уравнений:

  1. 4=62s4 = -6 - 2s (по координате xx)
  2. 6+t=11+2s6 + t = 11 + 2s (по координате yy)
  3. 2=7+s2 = 7 + s (по координате zz)

1. Из уравнения для xx:

4=62s    2s=10    s=54 = -6 - 2s \implies 2s = -10 \implies s = -5

2. Из уравнения для zz:

2=7+s    s=52 = 7 + s \implies s = -5 Этот результат подтверждает, что s=5s = -5.

3. Подставим s=5s = -5 в уравнение для yy:

6+t=11+2(5)    6+t=1110    t=16 + t = 11 + 2(-5) \implies 6 + t = 11 - 10 \implies t = -1

3. Находим точку пересечения

Теперь, подставим t=1t = -1 в уравнение первой прямой r1(t)\mathbf{r_1}(t): r1(1)=(4,6+(1),2)=(4,5,2)\mathbf{r_1}(-1) = (4, 6 + (-1), 2) = (4, 5, 2)

Ответ

Координаты точки пересечения прямых: (4,5,2)(4, 5, 2).

Если у вас возникнут вопросы или потребуется подробное объяснение, дайте знать!


Дополнительные вопросы:

  1. Как найти уравнение плоскости, содержащей две пересекающиеся прямые?
  2. Что происходит, если прямые не пересекаются, а параллельны?
  3. Как вычислить угол между двумя прямыми в пространстве?
  4. Как решить задачу о пересечении прямых в пространстве с помощью матриц?
  5. Как найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми?

Совет: В задачах на пересечение прямых полезно внимательно следить за параметрическими уравнениями, так как ошибка при подстановке может привести к неверным результатам.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Vector Algebra
Parametric Equations of Lines
System of Linear Equations

Formulas

Direction vector of a line: v = B - A
Parametric equation of a line: r(t) = A + t * v
System of equations: Solve for parameters t and s where r1(t) = r2(s)

Theorems

Properties of parametric equations
Solving systems of linear equations

Suitable Grade Level

Grades 11-12