Для нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве, нужно решить систему уравнений, полученную из параметрических уравнений этих прямых.

1. Параметрические уравнения прямых

Первая прямая

Прямая проходит через точки $A(4, 6, 2)$ и $B(4, 7, 2)$. Вектор направления этой прямой можно найти как разность координат точек $B - A$: $\mathbf{v_1} = B - A = (4 - 4, 7 - 6, 2 - 2) = (0, 1, 0)$ Параметрическое уравнение первой прямой: $\mathbf{r_1}(t) = A + t \cdot \mathbf{v_1} = (4, 6, 2) + t \cdot (0, 1, 0) = (4, 6 + t, 2)$ где $t$ — параметр.

Вторая прямая

Прямая проходит через точки $C(-6, 11, 7)$ и $D(-8, 13, 8)$. Вектор направления этой прямой: $\mathbf{v_2} = D - C = (-8 + 6, 13 - 11, 8 - 7) = (-2, 2, 1)$ Параметрическое уравнение второй прямой: $\mathbf{r_2}(s) = C + s \cdot \mathbf{v_2} = (-6, 11, 7) + s \cdot (-2, 2, 1) = (-6 - 2s, 11 + 2s, 7 + s)$ где $s$ — параметр.

2. Решение системы уравнений

Для нахождения точки пересечения прямых приравняем параметрические уравнения: $(4, 6 + t, 2) = (-6 - 2s, 11 + 2s, 7 + s)$

Теперь решим систему из 3 уравнений:

1. $4 = -6 - 2s$ (по координате $x$)
2. $6 + t = 11 + 2s$ (по координате $y$)
3. $2 = 7 + s$ (по координате $z$)

1. Из уравнения для $x$:

$4 = -6 - 2s \implies 2s = -10 \implies s = -5$

2. Из уравнения для $z$:

$2 = 7 + s \implies s = -5$ Этот результат подтверждает, что $s = -5$.

3. Подставим $s = -5$ в уравнение для $y$:

$6 + t = 11 + 2(-5) \implies 6 + t = 11 - 10 \implies t = -1$

3. Находим точку пересечения

Теперь, подставим $t = -1$ в уравнение первой прямой $\mathbf{r_1}(t)$: $\mathbf{r_1}(-1) = (4, 6 + (-1), 2) = (4, 5, 2)$

Ответ

Координаты точки пересечения прямых: $(4, 5, 2)$.

Если у вас возникнут вопросы или потребуется подробное объяснение, дайте знать!

---

Дополнительные вопросы:

1. Как найти уравнение плоскости, содержащей две пересекающиеся прямые?
2. Что происходит, если прямые не пересекаются, а параллельны?
3. Как вычислить угол между двумя прямыми в пространстве?
4. Как решить задачу о пересечении прямых в пространстве с помощью матриц?
5. Как найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми?

Совет: В задачах на пересечение прямых полезно внимательно следить за параметрическими уравнениями, так как ошибка при подстановке может привести к неверным результатам.