Integremos la funcion sobre el contorno de la recta. Cual seran los limites de integracion?. Para hallarlo tendria que buscar la intercepcion entre la circuferencia y la recta

Para encontrar los límites de integración del segmento de la recta que forma parte del contorno \(C\), primero debemos hallar los puntos de intersección entre la recta \(\text{Im}(z) = \frac{4 - \text{Re}(z)}{2}\) y la circunferencia centrada en \(w = -2 + 2i\) con radio \(r = 2\).

### Paso 1: Ecuación de la Recta
La recta está dada por:
\[ \text{Im}(z) = \frac{4 - \text{Re}(z)}{2} \]
Si \( z = x + iy \), entonces:
\[ y = \frac{4 - x}{2} \]
Por lo tanto, podemos expresar \(z\) como:
\[ z = x + i\left(\frac{4 - x}{2}\right) \]

### Paso 2: Ecuación de la Circunferencia
La ecuación de la circunferencia centrada en \( w = -2 + 2i \) con radio \( r = 2 \) es:
\[ |z - (-2 + 2i)| = 2 \]
Esto se traduce a:
\[ |z + 2 - 2i| = 2 \]
Expandiendo en términos de \( z = x + iy \):
\[ |(x + 2) + i(y - 2)| = 2 \]
\[ \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 2)^2} = 2 \]
Al cuadrar ambos lados obtenemos:
\[ (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 4 \]

### Paso 3: Sustituir la Recta en la Circunferencia
Sustituimos \( y = \frac{4 - x}{2} \) en la ecuación de la circunferencia:
\[ (x + 2)^2 + \left(\frac{4 - x}{2} - 2\right)^2 = 4 \]
Simplificando el término:
\[ \left(\frac{4 - x}{2} - 2\right) = \frac{4 - x - 4}{2} = \frac{-x}{2} \]
Entonces la ecuación se convierte en:
\[ (x + 2)^2 + \left(\frac{-x}{2}\right)^2 = 4 \]
\[ (x + 2)^2 + \frac{x^2}{4} = 4 \]
Multiplicando por 4 para eliminar el denominador:
\[ 4(x + 2)^2 + x^2 = 16 \]
Expandiendo:
\[ 4(x^2 + 4x + 4) + x^2 = 16 \]
\[ 4x^2 + 16x + 16 + x^2 = 16 \]
\[ 5x^2 + 16x + 16 = 16 \]
\[ 5x^2 + 16x = 0 \]
Factorizando:
\[ x(5x + 16) = 0 \]
Las soluciones son:
\[ x = 0 \quad \text{o} \quad x = -\frac{16}{5} \]

### Paso 4: Determinar los Límites de Integración
Los valores de \( x \) que determinan los puntos de intersección son \( x = 0 \) y \( x = -\frac{16}{5} \). Sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta para encontrar \( y \):
- Para \( x = 0 \):
  \[ y = \frac{4 - 0}{2} = 2 \]
  El punto de intersección es \( 0 + 2i \).
- Para \( x = -\frac{16}{5} \):
  \[ y = \frac{4 - \left(-\frac{16}{5}\right)}{2} = \frac{4 + \frac{16}{5}}{2} = \frac{\frac{20}{5} + \frac{16}{5}}{2} = \frac{\frac{36}{5}}{2} = \frac{18}{5} \]
  El punto de intersección es \( -\frac{16}{5} + i\frac{18}{5} \).

### Paso 5: Parametrización e Integración
Parámetros de la curva sobre la recta:
\[ z = x + i\left(\frac{4 - x}{2}\right) \quad \text{con} \quad x \in \left[-\frac{16}{5}, 0\right] \]

Entonces, la integral sobre este segmento es:
\[ \int_{-\frac{16}{5}}^{0} \left(\overline{x + i\left(\frac{4 - x}{2}\right)}\right)^2 \left(1 + i \left(-\frac{1}{2}\right)\right) dx \]

La expresión completa para \(\overline{z}\):
\[ \overline{z} = x - i\left(\frac{4 - x}{2}\right) \]

¿Te gustaría proceder con la integración de esta parametrización?

Aquí hay 5 preguntas que podrías considerar hacer:

1. ¿Cómo se parametrizan las curvas en el plano complejo para integrales?
2. ¿Cómo se manejan las integrales de funciones que no son analíticas?
3. ¿Qué técnicas existen para encontrar intersecciones entre curvas en el plano complejo?
4. ¿Cómo se transforma una integral compleja en términos de una parametrización?
5. ¿Cuáles son los límites de integración para diferentes curvas y cómo se determinan?

Tip: Siempre verifica que las funciones y las parametrizaciones estén bien definidas en el intervalo de integración para asegurar la correcta evaluación de la integral.

Explore how to find integration limits over a contour formed by the intersection of a line and a circle in the complex plane. Learn the step-by-step process involving parametrization and complex integral calculus.

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