اثبات کن integral sech x dx = arcsin ( tanh x )+c

برای اثبات اینکه:

\[
\int \text{sech}(x) \, dx = \arcsin(\tanh(x)) + C
\]

از مراحل زیر استفاده می‌کنیم:

### 1. **مشتق تابع \(\arcsin(\tanh(x))\)**

بیایید بررسی کنیم که آیا مشتق \(\arcsin(\tanh(x))\) همان \(\text{sech}(x)\) است یا خیر.

می‌دانیم که مشتق \(\arcsin(u)\) برابر است با:

\[
\frac{d}{dx} \arcsin(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx}
\]

در اینجا، \(u = \tanh(x)\)، بنابراین ابتدا مشتق \(\tanh(x)\) را محاسبه می‌کنیم:

\[
\frac{d}{dx} \tanh(x) = \text{sech}^2(x)
\]

حالا مشتق \(\arcsin(\tanh(x))\) را محاسبه می‌کنیم:

\[
\frac{d}{dx} \arcsin(\tanh(x)) = \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}} \cdot \text{sech}^2(x)
\]

### 2. **ساده‌سازی عبارت**

با استفاده از هویت معروف هایپربولیک:

\[
1 - \tanh^2(x) = \text{sech}^2(x)
\]

پس داریم:

\[
\frac{d}{dx} \arcsin(\tanh(x)) = \frac{1}{\sqrt{\text{sech}^2(x)}} \cdot \text{sech}^2(x)
\]

که برابر می‌شود با:

\[
\frac{d}{dx} \arcsin(\tanh(x)) = \text{sech}(x)
\]

### 3. **نتیجه**

از آنجایی که مشتق \(\arcsin(\tanh(x))\) برابر با \(\text{sech}(x)\) است، نتیجه می‌گیریم که:

\[
\int \text{sech}(x) \, dx = \arcsin(\tanh(x)) + C
\]

که همان چیزی است که می‌خواستیم اثبات کنیم.

### نتیجه نهایی:
اثبات شد که:

\[
\int \text{sech}(x) \, dx = \arcsin(\tanh(x)) + C
\]

آیا سوال دیگری دارید؟  
در ادامه 5 سوال مرتبط برای بررسی و مطالعه بیشتر:
1. چه ارتباطی بین توابع هایپربولیک و توابع مثلثاتی وجود دارد؟
2. چگونه می‌توان از سایر توابع معکوس هایپربولیک در مسائل انتگرال‌گیری استفاده کرد؟
3. چگونه هویت‌های توابع هایپربولیک به ما کمک می‌کنند در ساده‌سازی مشتقات و انتگرال‌ها؟
4. چرا تابع \(\arcsin(\tanh(x))\) برای این انتگرال خاص کاربرد دارد؟
5. چه کاربردهایی برای انتگرال‌های توابع هایپربولیک در فیزیک وجود دارد؟

**نکته:** استفاده از هویت‌های توابع هایپربولیک و روابط آنها می‌تواند محاسبات انتگرال‌گیری را بسیار ساده‌تر کند.

Explore the detailed proof for the integral of sech(x), which equals arcsin(tanh(x)) + C. This solution involves hyperbolic and inverse trigonometric functions, leveraging key calculus identities and theorems. Ideal for students studying advanced calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation