برای حل انتگرال $\int \csch(x) \, dx$، از فرمول‌ها و روش‌های رایج در انتگرال‌گیری استفاده می‌کنیم. در اینجا $\csch(x)$ تابع هایپربولیک معکوس سینوس یا به عبارتی معکوس سینوس هایپربولیک است و تعریف آن به شکل زیر است:

$\csch(x) = \frac{1}{\sinh(x)}$

گام اول: تبدیل به فرم قابل حل

بنابراین انتگرال اولیه به شکل زیر در می‌آید:

$\int \csch(x) \, dx = \int \frac{1}{\sinh(x)} \, dx$

گام دوم: استفاده از رابطه‌های هایپربولیک

برای انتگرال تابع $\csch(x)$، می‌توانیم از یک رابطه معروف استفاده کنیم که به ما نتیجه نهایی را می‌دهد. این رابطه به صورت زیر است:

$\int \csch(x) \, dx = \ln \left| \tanh \left( \frac{x}{2} \right) \right| + C$

این نتیجه یک انتگرال استاندارد است. بنابراین پاسخ نهایی به صورت زیر خواهد بود:

$\int \csch(x) \, dx = \ln \left| \tanh \left( \frac{x}{2} \right) \right| + C$

گام سوم: نتیجه‌گیری

انتگرال تابع $\csch(x)$ به یک لگاریتم تابع $\tanh$ منجر می‌شود. $C$ نیز ثابت انتگرال‌گیری است.

---

آیا نیاز به جزئیات بیشتری دارید یا سوالی دارید؟
سؤالات مرتبط:

1. چگونه می‌توان انتگرال تابع $\coth(x)$ را حل کرد؟
2. چه ارتباطی میان توابع هایپربولیک و توابع مثلثاتی وجود دارد؟
3. چرا تابع $\csch(x)$ به صورت معکوس تابع $\sinh(x)$ تعریف شده است؟
4. تفاوت میان توابع هایپربولیک و توابع مثلثاتی در حل انتگرال‌ها چیست؟
5. چگونه می‌توان توابع هایپربولیک را به توابع نمایی تبدیل کرد؟

نکته: توابع هایپربولیک مشابه توابع مثلثاتی هستند ولی در فضای اعداد حقیقی و مختلط کاربردهای خاصی دارند.