
انتگرال csch x dx را حل کن با تشریح جزئیات




برای حل انتگرال \( \int \csch(x) \, dx \)، از فرمول‌ها و روش‌های رایج در انتگرال‌گیری استفاده می‌کنیم. در اینجا \( \csch(x) \) تابع هایپربولیک معکوس سینوس یا به عبارتی معکوس سینوس هایپربولیک است و تعریف آن به شکل زیر است:

\[
\csch(x) = \frac{1}{\sinh(x)}
\]

### گام اول: تبدیل به فرم قابل حل

بنابراین انتگرال اولیه به شکل زیر در می‌آید:

\[
\int \csch(x) \, dx = \int \frac{1}{\sinh(x)} \, dx
\]

### گام دوم: استفاده از رابطه‌های هایپربولیک

برای انتگرال تابع \( \csch(x) \)، می‌توانیم از یک رابطه معروف استفاده کنیم که به ما نتیجه نهایی را می‌دهد. این رابطه به صورت زیر است:

\[
\int \csch(x) \, dx = \ln \left| \tanh \left( \frac{x}{2} \right) \right| + C
\]

این نتیجه یک انتگرال استاندارد است. بنابراین پاسخ نهایی به صورت زیر خواهد بود:

\[
\int \csch(x) \, dx = \ln \left| \tanh \left( \frac{x}{2} \right) \right| + C
\]

### گام سوم: نتیجه‌گیری
انتگرال تابع \( \csch(x) \) به یک لگاریتم تابع \( \tanh \) منجر می‌شود. \( C \) نیز ثابت انتگرال‌گیری است.

---

آیا نیاز به جزئیات بیشتری دارید یا سوالی دارید؟  
سؤالات مرتبط:  
1. چگونه می‌توان انتگرال تابع \( \coth(x) \) را حل کرد؟  
2. چه ارتباطی میان توابع هایپربولیک و توابع مثلثاتی وجود دارد؟  
3. چرا تابع \( \csch(x) \) به صورت معکوس تابع \( \sinh(x) \) تعریف شده است؟  
4. تفاوت میان توابع هایپربولیک و توابع مثلثاتی در حل انتگرال‌ها چیست؟  
5. چگونه می‌توان توابع هایپربولیک را به توابع نمایی تبدیل کرد؟  

**نکته:** توابع هایپربولیک مشابه توابع مثلثاتی هستند ولی در فضای اعداد حقیقی و مختلط کاربردهای خاصی دارند.

انتگرال csch x dx را حل کن با تشریح جزئیات

Learn how to solve the integral of csch(x) with a step-by-step explanation. This solution covers hyperbolic functions, their properties, and the use of standard integrals in calculus. Suitable for undergraduate students in advanced calculus courses.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation