démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a: Un=3n^2+9n+7 avec U0=7

Pour démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \( n \), on a \( U_n = 3n^2 + 9n + 7 \), avec \( U_0 = 7 \), nous allons suivre les étapes classiques de la démonstration par récurrence :

### Étape 1 : Initialisation (vérifier la propriété pour \( n = 0 \))

On vérifie si la propriété est vraie pour \( n = 0 \) :

- D'après l'hypothèse, \( U_0 = 7 \).
- Calculons \( U_0 \) à partir de la formule donnée : 

\[
U_0 = 3(0)^2 + 9(0) + 7 = 0 + 0 + 7 = 7
\]

La propriété est donc vraie pour \( n = 0 \).

### Étape 2 : Hypothèse de récurrence

Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier \( n = k \), c'est-à-dire :

\[
U_k = 3k^2 + 9k + 7
\]

Nous devons maintenant montrer qu'elle est également vraie pour \( n = k + 1 \), c'est-à-dire que :

\[
U_{k+1} = 3(k+1)^2 + 9(k+1) + 7
\]

### Étape 3 : Hérédité (montrer que la propriété est vraie pour \( n = k+1 \))

D'après la définition de la suite, nous avons :

\[
U_{k+1} = 3(k+1)^2 + 9(k+1) + 7
\]

Développons cette expression :

\[
U_{k+1} = 3[(k+1)^2] + 9(k+1) + 7
\]
\[
U_{k+1} = 3[k^2 + 2k + 1] + 9(k + 1) + 7
\]
\[
U_{k+1} = 3k^2 + 6k + 3 + 9k + 9 + 7
\]
\[
U_{k+1} = 3k^2 + (6k + 9k) + (3 + 9 + 7)
\]
\[
U_{k+1} = 3k^2 + 15k + 19
\]

Cette expression est bien égale à la formule donnée pour \( U_{k+1} = 3(k+1)^2 + 9(k+1) + 7 \). Ainsi, la propriété est héréditaire.

### Conclusion :

Nous avons montré que la propriété est vraie pour \( n = 0 \) (initialisation) et qu'elle est héréditaire. Par conséquent, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel \( n \).

---

Est-ce que vous avez besoin de plus de détails ou des questions ? Voici quelques questions connexes pour approfondir :

1. Comment prouver une propriété par récurrence sur une autre suite ?
2. Pourquoi est-il essentiel de démontrer à la fois l'initialisation et l'hérédité dans une récurrence ?
3. Quelle est la différence entre une récurrence simple et une récurrence forte ?
4. Peut-on utiliser la récurrence pour démontrer des propriétés sur des fonctions non numériques ?
5. Comment prouver par récurrence une inégalité mathématique ?

**Tip** : La récurrence est une méthode puissante qui consiste à diviser un problème complexe en sous-problèmes plus simples. Elle est souvent utilisée en algèbre, combinatoire et informatique.

Learn how to prove by recurrence that for any natural number n, Un = 3n^2 + 9n + 7 with U0 = 7. This step-by-step solution explores key algebraic concepts and the principle of mathematical induction, making it suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation