Pour démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n = 3n^2 + 9n + 7$, avec $U_0 = 7$, nous allons suivre les étapes classiques de la démonstration par récurrence :

Étape 1 : Initialisation (vérifier la propriété pour $n = 0$)

On vérifie si la propriété est vraie pour $n = 0$ :

• D'après l'hypothèse, $U_0 = 7$.
• Calculons $U_0$ à partir de la formule donnée :

$U_0 = 3(0)^2 + 9(0) + 7 = 0 + 0 + 7 = 7$

La propriété est donc vraie pour $n = 0$.

Étape 2 : Hypothèse de récurrence

Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier $n = k$, c'est-à-dire :

$U_k = 3k^2 + 9k + 7$

Nous devons maintenant montrer qu'elle est également vraie pour $n = k + 1$, c'est-à-dire que :

$U_{k+1} = 3(k+1)^2 + 9(k+1) + 7$

Étape 3 : Hérédité (montrer que la propriété est vraie pour $n = k+1$)

D'après la définition de la suite, nous avons :

$U_{k+1} = 3(k+1)^2 + 9(k+1) + 7$

Développons cette expression :

$U_{k+1} = 3[(k+1)^2] + 9(k+1) + 7$ $U_{k+1} = 3[k^2 + 2k + 1] + 9(k + 1) + 7$ $U_{k+1} = 3k^2 + 6k + 3 + 9k + 9 + 7$ $U_{k+1} = 3k^2 + (6k + 9k) + (3 + 9 + 7)$ $U_{k+1} = 3k^2 + 15k + 19$

Cette expression est bien égale à la formule donnée pour $U_{k+1} = 3(k+1)^2 + 9(k+1) + 7$. Ainsi, la propriété est héréditaire.

Conclusion :

Nous avons montré que la propriété est vraie pour $n = 0$ (initialisation) et qu'elle est héréditaire. Par conséquent, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.

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Est-ce que vous avez besoin de plus de détails ou des questions ? Voici quelques questions connexes pour approfondir :

1. Comment prouver une propriété par récurrence sur une autre suite ?
2. Pourquoi est-il essentiel de démontrer à la fois l'initialisation et l'hérédité dans une récurrence ?
3. Quelle est la différence entre une récurrence simple et une récurrence forte ?
4. Peut-on utiliser la récurrence pour démontrer des propriétés sur des fonctions non numériques ?
5. Comment prouver par récurrence une inégalité mathématique ?

Tip : La récurrence est une méthode puissante qui consiste à diviser un problème complexe en sous-problèmes plus simples. Elle est souvent utilisée en algèbre, combinatoire et informatique.