Todistus:

Olkoon $f : X \to Y$ kuvaus ja $A, B \subset X$. Tarkastellaan joukkoa $f(A \cap B)$ ja näytetään, että se on osajoukko joukosta $f(A) \cap f(B)$.

1. Otetaan alkio joukosta $f(A \cap B)$:

Olkoon $y \in f(A \cap B)$. Tämä tarkoittaa, että on olemassa alkio $x \in A \cap B$ siten, että $f(x) = y$.

Koska $x \in A \cap B$, seuraa $x \in A$ ja $x \in B$.

2. Näytetään, että $y \in f(A) \cap f(B)$:

Koska $x \in A$, $f(x) = y$ tarkoittaa $y \in f(A)$.

Vastaavasti, koska $x \in B$, $f(x) = y$ tarkoittaa $y \in f(B)$.

Siispä $y \in f(A) \cap f(B)$.

3. Johtopäätös:

Koska jokainen alkio joukosta $f(A \cap B)$ kuuluu myös joukkoon $f(A) \cap f(B)$, saadaan $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B).$

Esimerkki, jossa inkluusio on aito:

Olkoon $X = \{1, 2, 3\}$, $Y = \{a, b, c\}$ ja kuvaus $f : X \to Y$ määritelty seuraavasti: $f(1) = a, \quad f(2) = a, \quad f(3) = b.$

Valitaan $A = \{1, 2\}$ ja $B = \{2, 3\}$. Tällöin $A \cap B = \{2\}$.

$f(A) = \{a\}, \quad f(B) = \{a, b\}, \quad f(A \cap B) = \{a\}.$

Tarkastellaan leikkausta: $f(A) \cap f(B) = \{a\} \cap \{a, b\} = \{a\}.$

Tässä tapauksessa $f(A \cap B) = \{a\}$ ja $f(A) \cap f(B) = \{a\}$, eli inkluusio ei ole aito.

Esimerkki aidosta inkluusiosta:

Olkoon $X = \{1, 2, 3, 4\}$, $Y = \{a, b, c\}$ ja $f : X \to Y$ määritelty: $f(1) = a, \quad f(2) = a, \quad f(3) = b, \quad f(4) = c.$

Valitaan $A = \{1, 3\}$ ja $B = \{2, 4\}$. Tällöin $A \cap B = \emptyset$, joten $f(A \cap B) = f(\emptyset) = \emptyset.$

Toisaalta $f(A) = \{a, b\}, \quad f(B) = \{a, c\}, \quad f(A) \cap f(B) = \{a\}.$

Tässä tapauksessa $f(A \cap B) = \emptyset \subset \{a\} = f(A) \cap f(B)$, ja inkluusio on aito.

---

Haluatko tarkempaa selitystä tästä todistuksesta tai esimerkeistä?

Laajentavat kysymykset:

1. Mikä merkitys on sillä, että $f$ ei välttämättä ole injektio tai surjektio tässä tilanteessa?
2. Kuinka $f$ vaikuttaa tapauksiin, joissa $A \cap B = \emptyset$?
3. Voiko olla tilannetta, jossa $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ riippumatta joukoista $A$ ja $B$?
4. Miten todistus muuttuu, jos $f$ oletetaan injektioksi?
5. Millaisia esimerkkejä voisi löytää, jos $X$ ja $Y$ ovat äärettömiä joukkoja?

Vinkki:

Muista, että aidon inkluusion tapauksessa kyse on siitä, että kuvaus $f$ voi "yhdistellä" alkioita samaan arvoon, mikä aiheuttaa osajoukkoisuuden.