Todistetaan ensin, että $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ kaikilla $A, B \subset X$.

Todistus:

1. Määritelmän avulla
   Olkoot $A, B \subset X$ ja $x \in A \cap B$. Tällöin $x \in A$ ja $x \in B$ määritelmän perusteella.

2. Kuvauksen soveltaminen
   Koska $x \in A \cap B$, $f(x)$ kuuluu joukkoon $f(A \cap B)$. Lisäksi, koska $x \in A$, $f(x) \in f(A)$, ja koska $x \in B$, $f(x) \in f(B)$.

3. Leikkausjoukko
   Tästä seuraa, että $f(x) \in f(A) \cap f(B)$.

4. Sisältyvyys
   Koska tämä pätee kaikille $x \in A \cap B$, saadaan $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$.

Esimerkki tilanteesta, jossa inkluusio on aito:

Olkoon $X = \{1, 2, 3\}$, $Y = \{a, b\}$ ja määritellään kuvaus $f : X \to Y$ seuraavasti: $f(1) = a, \, f(2) = a, \, f(3) = b.$

Otetaan joukot $A = \{1, 3\}$ ja $B = \{2, 3\}$. Tällöin:

• $A \cap B = \{3\}$,
• $f(A \cap B) = f(\{3\}) = \{b\}$.

Lisäksi:

• $f(A) = \{a, b\}$ ja $f(B) = \{a, b\}$,
• $f(A) \cap f(B) = \{a, b\}$.

Nyt huomataan, että $f(A \cap B) = \{b\} \subsetneq \{a, b\} = f(A) \cap f(B)$. Tässä tapauksessa sisältyvyys on aito.

---

Kysymyksiä jatkoon:

1. Mitä tarkoitetaan aidolla inkluusiolla yleisesti joukko-opin näkökulmasta?
2. Miten kuvauksen injektiivisyys vaikuttaa tähän sisältyvyyteen?
3. Mitä tapahtuisi, jos $A \cap B = \varnothing$? Miten $f(A \cap B)$ ja $f(A) \cap f(B)$ vertautuvat?
4. Kuinka tämä tulos yleistyy, jos $A, B \subset X$ eivät ole äärellisiä?
5. Voiko löytyä kuvausta $f$, joka tekee sisältyvyydestä yhtäsuuruuden kaikille $A, B$?

Vinkki: Jos haluat osoittaa, että inkluusio ei ole yhtäsuuruus, kannattaa etsiä tilanteita, joissa kuvaus $f$ ei ole injektiivinen.