Pour démontrer que $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$, où $f : E \to F$ est une application et $A$ et $B$ sont deux parties de $E$, procédons par étapes :

Démonstration :

1. Définition de l'image d'un ensemble par une fonction :
   L'image d'une partie $A \subset E$ par $f$ est définie par : $f(A) = \{ f(x) \mid x \in A \}.$ De même, pour une intersection $A \cap B$, l'image est : $f(A \cap B) = \{ f(x) \mid x \in A \cap B \}.$

2. Inclusion à démontrer :
   Nous cherchons à prouver que : $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B).$ Autrement dit, tout élément de $f(A \cap B)$ doit aussi appartenir à $f(A) \cap f(B)$.

3. Prenons un élément quelconque de $f(A \cap B)$ :
   Soit $y \in f(A \cap B)$.
   Cela signifie qu'il existe un $x \in A \cap B$ tel que $f(x) = y$.
   Par la définition de l'intersection, $x \in A$ et $x \in B$, donc : $f(x) \in f(A) \quad \text{et} \quad f(x) \in f(B).$ Par conséquent, $y = f(x) \in f(A) \cap f(B)$.

4. Conclusion :
   Puisque tout élément $y \in f(A \cap B)$ appartient à $f(A) \cap f(B)$, on a bien l'inclusion : $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B).$

Résultat :

On a démontré que $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ pour toute application $f : E \to F$ et pour toute paire de sous-ensembles $A$ et $B$ de $E$.

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Est-ce que vous souhaitez des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions liées pour approfondir :

1. Que se passe-t-il si $f$ est injective ? Peut-on avoir $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ ?
2. Quel serait l'équivalent pour l'union : peut-on dire que $f(A \cup B) \subset f(A) \cup f(B)$ ?
3. Si $f$ est surjective, cette inclusion devient-elle une égalité ?
4. Quels contre-exemples montrent que $f(A \cap B) \neq f(A) \cap f(B)$ en général ?
5. Comment prouver que l'inclusion $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ peut être stricte ?

Tip : Dans les démonstrations avec des fonctions et des ensembles, il est souvent utile d'analyser les propriétés de la fonction (injective, surjective, bijective) pour voir comment elles affectent les inclusions ou égalités.