comment pouvant nous trouve la valeur de K un inconus dans 2 equation (Kx+y=1 et 4x+ky=2) pour que les 2 equation est une infinité de solution

Pour que le système d'équations suivant ait une infinité de solutions :

1. \( Kx + y = 1 \)  
2. \( 4x + Ky = 2 \)

il doit s'agir d'un **système compatible indéterminé**, ce qui signifie que les deux équations doivent être proportionnelles, c'est-à-dire que l'une doit être un multiple de l'autre.

Voici les étapes pour résoudre ce problème :

### Étape 1 : Identifier les coefficients des deux équations

Première équation : \( Kx + y = 1 \)
- Coefficients : \( K \) pour \( x \), 1 pour \( y \), et 1 pour le terme constant.

Deuxième équation : \( 4x + Ky = 2 \)
- Coefficients : 4 pour \( x \), \( K \) pour \( y \), et 2 pour le terme constant.

### Étape 2 : Vérifier la condition de proportionnalité

Pour que les deux équations soient proportionnelles, il doit exister un nombre \( \lambda \) tel que :
\[
\frac{K}{4} = \frac{1}{K} = \frac{1}{2}
\]

### Étape 3 : Résoudre pour \( K \)

1. La première égalité est :  
   \[
   \frac{K}{4} = \frac{1}{K}
   \]
   Multiplions chaque côté par \( K \) :
   \[
   K^2 = 4
   \]
   Donc \( K = \pm 2 \).

2. La deuxième égalité est :  
   \[
   \frac{1}{K} = \frac{1}{2}
   \]
   Donc, \( K = 2 \).

### Conclusion

Pour que le système ait une infinité de solutions, la valeur de \( K \) doit être \( 2 \).

### Vérification

Si \( K = 2 \), les deux équations deviennent :

1. \( 2x + y = 1 \)
2. \( 4x + 2y = 2 \)

La deuxième équation est bien un multiple de la première, donc le système a effectivement une infinité de solutions pour \( K = 2 \).

---

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ? 

Voici 5 questions connexes :
1. Comment savoir si un système d'équations a une solution unique ou infinie ?
2. Que se passe-t-il si \( K \) prend une autre valeur que 2 ?
3. Quels autres types de systèmes d'équations existent ?
4. Comment résoudre un système d'équations par substitution ?
5. Qu'est-ce qu'un système linéaire homogène et comment se résout-il ?

**Astuce** : Pour savoir si deux équations sont proportionnelles, comparez les rapports de leurs coefficients.

Discover how to find the value of K that makes the system of linear equations Kx + y = 1 and 4x + Ky = 2 have infinite solutions. This problem explores proportionality in systems of equations, suitable for students in Grades 9-12.

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