kを定数とする。曲線y=|x^2-4|+2x-2と直線u=x+kの共有点の個数を求めよ。

まず、曲線 \( y = |x^2 - 4| + 2x - 2 \) と直線 \( u = x + k \) の共有点を求めるために、これらの2つの式を連立させます。

### 1. 曲線と直線の連立
連立させると、次のような式が得られます。
\[
|x^2 - 4| + 2x - 2 = x + k
\]
この方程式を解いて、共有点の個数を調べます。

### 2. 絶対値の分岐
絶対値が含まれているため、次のように場合分けを行います。

#### 場合1: \( x^2 - 4 \geq 0 \) の場合
この場合、絶対値がそのまま外れるので、次の方程式が得られます。
\[
x^2 - 4 + 2x - 2 = x + k
\]
これを整理すると、
\[
x^2 + x - 6 = k
\]
したがって、
\[
x^2 + x - (k + 6) = 0
\]
これを解の公式を使って解くと、
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4(k + 6)}}{2}
\]
この解が実数となるための条件は、
\[
1 + 4(k + 6) \geq 0 \quad \text{すなわち} \quad k \geq -\frac{25}{4}
\]
です。

#### 場合2: \( x^2 - 4 < 0 \) の場合
この場合、絶対値が逆符号になるので、次の方程式が得られます。
\[
-(x^2 - 4) + 2x - 2 = x + k
\]
これを整理すると、
\[
-x^2 + x + 2 = k
\]
したがって、
\[
x^2 - x + (k - 2) = 0
\]
この解を解の公式を用いて解くと、
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(k - 2)}}{2}
\]
この解が実数となるための条件は、
\[
1 - 4(k - 2) \geq 0 \quad \text{すなわち} \quad k \leq \frac{9}{4}
\]
です。

### 3. 共有点の個数
まとめると、次のような結論が得られます。

- \( k < -\frac{25}{4} \) のとき、共有点は存在しません。
- \( k = -\frac{25}{4} \) のとき、共有点は1つです。
- \( -\frac{25}{4} < k < \frac{9}{4} \) のとき、共有点は3つです。
- \( k = \frac{9}{4} \) のとき、共有点は2つです。
- \( k > \frac{9}{4} \) のとき、共有点は1つです。

この結果をもとに、具体的な共有点の個数を求めることができます。

何か質問やさらに詳しい説明が必要ですか？  

次の関連する5つの質問は以下の通りです：
1. 絶対値を含む方程式の他の解法について知りたいですか？
2. 解の公式の導出方法について説明しましょうか？
3. 曲線のグラフを描く際のポイントを知りたいですか？
4. 共有点の個数に対する他のパラメーターの影響について調べてみたいですか？
5. 関数の分割における他のケースについて学びたいですか？

**Tip:** 絶対値を含む問題では、まず場合分けを行い、それぞれの条件に対して方程式を解くことが重要です。

Learn how to determine the number of intersection points between the curve y = |x^2 - 4| + 2x - 2 and the line u = x + k using algebraic methods. Explore cases involving absolute value equations and quadratic equations. Suitable for advanced high school students and beyond.

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