この問題は、曲線 $y = |x^2 - 4x| + 2x - 2$ と直線 $y = x + k$ の共有点の個数を求めるものです。与えられた答えから、共有点の個数が $k$ の値によってどのように変化するかを理解するために、次の手順を踏んでいきます。

1. 曲線の分岐点を調べる

まず、絶対値の中身 $x^2 - 4x = x(x - 4)$ から、曲線は $x = 0$ と $x = 4$ で分岐します。これにより、次の2つの場合が考えられます。

• $x \leq 0$ および $x \geq 4$ のとき、 $|x^2 - 4x| = x^2 - 4x$
• $0 < x < 4$ のとき、 $|x^2 - 4x| = -(x^2 - 4x)$

2. 各区間で曲線の形を考える

それぞれの区間に対して、曲線の式を以下のように分けられます。

1. $x \leq 0$: $y = (x^2 - 4x) + 2x - 2 = x^2 - 2x - 2$
2. $0 < x < 4$: $y = -(x^2 - 4x) + 2x - 2 = -x^2 + 6x - 2$
3. $x \geq 4$: $y = (x^2 - 4x) + 2x - 2 = x^2 - 2x - 2$

3. 直線との交点を考える

直線 $y = x + k$ との交点を調べるために、それぞれの区間で曲線と直線の差を考えます。

1. $x \leq 0$ と $x \geq 4$ では、方程式は次のようになります： $x^2 - 2x - 2 = x + k \quad \Rightarrow \quad x^2 - 3x - (2 + k) = 0$ 判別式 $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(-(2+k)) = 9 + 8 + 4k = 17 + 4k$ で、判別式が非負なら交点があります。

2. $0 < x < 4$ では、方程式は次のようになります： $-x^2 + 6x - 2 = x + k \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 5x - (2 + k) = 0$ 判別式 $\Delta = 5^2 + 4(1)(2+k) = 25 - 8 - 4k = 17 - 4k$ で、こちらも同様に判別式が非負なら交点があります。

4. 各場合の交点の個数を考える

これらの判別式の結果と $k$ の範囲から、以下のように交点の個数が変わります。

• $k < -2$: 判別式が負となり、交点なし（0個）
• $k = -2$: 判別式がゼロになり、1個の重解（1個）
• $-2 < k < 2$: 判別式が正になり、2つの実数解（2個）
• $k = 2$: 判別式がゼロになり、1つの重解が2回現れるので3個の交点
• $2 < k < \frac{17}{4}$: ( 2つの区間で交点があり、合計で4個の交点
• $k = \frac{17}{4}$: 判別式が再びゼロになるため、交点が3個
• $k > \frac{17}{4}$: 判別式が減少して交点が減少し、合計2個の交点

以上から、与えられた答えが導き出されます。

質問

1. 曲線の分岐点とは何ですか？
2. 判別式を使用して交点の個数をどのように判断しますか？
3. $k = 2$ のときに交点が3個になる理由は？
4. $k = \frac{17}{4}$ の特別な意味は何ですか？
5. 直線が曲線と交わらない場合とは？

ワンポイントアドバイス

判別式を使って交点の個数を調べる際は、判別式がゼロになるタイミングが重解を意味し、その場合の特異性に注意しましょう。