kを定数とする。曲線y=|x^2-4x|+2x-2と直線y=x+kの共有点の個数を求めよ。答えはk<-2が0個、k=-2が1個、-2<k<2が2個、k=2が3個、2<k<17/4が4個、k=17/4が3個、k>17/4が2個です。

この問題は、曲線 \( y = |x^2 - 4x| + 2x - 2 \) と直線 \( y = x + k \) の共有点の個数を求めるものです。与えられた答えから、共有点の個数が \( k \) の値によってどのように変化するかを理解するために、次の手順を踏んでいきます。

### 1. 曲線の分岐点を調べる
まず、絶対値の中身 \( x^2 - 4x = x(x - 4) \) から、曲線は \( x = 0 \) と \( x = 4 \) で分岐します。これにより、次の2つの場合が考えられます。

- \( x \leq 0 \) および \( x \geq 4 \) のとき、 \( |x^2 - 4x| = x^2 - 4x \)
- \( 0 < x < 4 \) のとき、 \( |x^2 - 4x| = -(x^2 - 4x) \)

### 2. 各区間で曲線の形を考える
それぞれの区間に対して、曲線の式を以下のように分けられます。

1. **\( x \leq 0 \):**
   \[
   y = (x^2 - 4x) + 2x - 2 = x^2 - 2x - 2
   \]
2. **\( 0 < x < 4 \):**
   \[
   y = -(x^2 - 4x) + 2x - 2 = -x^2 + 6x - 2
   \]
3. **\( x \geq 4 \):**
   \[
   y = (x^2 - 4x) + 2x - 2 = x^2 - 2x - 2
   \]

### 3. 直線との交点を考える
直線 \( y = x + k \) との交点を調べるために、それぞれの区間で曲線と直線の差を考えます。

1. \( x \leq 0 \) と \( x \geq 4 \) では、方程式は次のようになります：
   \[
   x^2 - 2x - 2 = x + k \quad \Rightarrow \quad x^2 - 3x - (2 + k) = 0
   \]
   判別式 \( \Delta = (-3)^2 - 4(1)(-(2+k)) = 9 + 8 + 4k = 17 + 4k \) で、判別式が非負なら交点があります。

2. \( 0 < x < 4 \) では、方程式は次のようになります：
   \[
   -x^2 + 6x - 2 = x + k \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 5x - (2 + k) = 0
   \]
   判別式 \( \Delta = 5^2 + 4(1)(2+k) = 25 - 8 - 4k = 17 - 4k \) で、こちらも同様に判別式が非負なら交点があります。

### 4. 各場合の交点の個数を考える
これらの判別式の結果と \( k \) の範囲から、以下のように交点の個数が変わります。

- \( k < -2 \): 判別式が負となり、交点なし（0個）
- \( k = -2 \): 判別式がゼロになり、1個の重解（1個）
- \( -2 < k < 2 \): 判別式が正になり、2つの実数解（2個）
- \( k = 2 \): 判別式がゼロになり、1つの重解が2回現れるので3個の交点
- \( 2 < k < \frac{17}{4} \): \( 2つの区間で交点があり、合計で4個の交点
- \( k = \frac{17}{4} \): 判別式が再びゼロになるため、交点が3個
- \( k > \frac{17}{4} \): 判別式が減少して交点が減少し、合計2個の交点

以上から、与えられた答えが導き出されます。

### 質問
1. 曲線の分岐点とは何ですか？
2. 判別式を使用して交点の個数をどのように判断しますか？
3. \( k = 2 \) のときに交点が3個になる理由は？
4. \( k = \frac{17}{4} \) の特別な意味は何ですか？
5. 直線が曲線と交わらない場合とは？

### ワンポイントアドバイス
判別式を使って交点の個数を調べる際は、判別式がゼロになるタイミングが重解を意味し、その場合の特異性に注意しましょう。

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