可以通过均值不等式（AM-HM不等式）来证明这个不等式。让我们详细进行证明。

用均值不等式（AM-HM不等式）证明

不等式说明

我们需要证明： $\frac{1}{1+x_1} + \frac{1}{1+x_2} + \cdots + \frac{1}{1+x_n} \geq \frac{n}{2}$ 其中 $x_1, x_2, \ldots, x_n > 0$ 且 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1$。

使用均值不等式

我们使用调和平均和算术平均之间的不等式（AM-HM不等式），其形式为： $\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}$

应用在本题中

令 $a_i = 1 + x_i$，则我们需要证明： $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} \geq \frac{n}{2}$ 其中 $a_i = 1 + x_i$。

应用AM-HM不等式

通过AM-HM不等式，我们有： $\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}$

将 $a_i$ 代入，得到： $\frac{(1+x_1) + (1+x_2) + \cdots + (1+x_n)}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{1+x_1} + \frac{1}{1+x_2} + \cdots + \frac{1}{1+x_n}}$

因为 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1$，所以： $\frac{n + (x_1 + x_2 + \cdots + x_n)}{n} = \frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$

因此我们有： $1 + \frac{1}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{1+x_1} + \frac{1}{1+x_2} + \cdots + \frac{1}{1+x_n}}$

取倒数并化简得到： $\frac{1}{1+x_1} + \frac{1}{1+x_2} + \cdots + \frac{1}{1+x_n} \geq \frac{n}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{n}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{n^2}{n+1}$

最终步骤

我们需要证明： $\frac{n^2}{n+1} \geq \frac{n}{2}$

比较 $\frac{n^2}{n+1}$ 和 $\frac{n}{2}$： $\frac{n^2}{n+1} \geq \frac{n}{2}$

两边乘以 $2(n+1)$： $2n^2 \geq n(n+1)$

化简得到： $2n^2 \geq n^2 + n$

即： $n^2 \geq n$

显然，当 $n \geq 1$ 时，这个不等式是成立的。

因此，我们证明了： $\frac{1}{1+x_1} + \frac{1}{1+x_2} + \cdots + \frac{1}{1+x_n} \geq \frac{n}{2}$

有任何问题或需要进一步详细解释吗？

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提示: 在处理不等式时，熟悉和灵活运用各种经典不等式（如AM-GM，柯西-施瓦茨，切比雪夫等）非常重要。这些工具可以帮助简化和解决复杂的问题。