x^5+3x^4+5x^3+5x^2+3x+1この式を実数係数の範囲で因数分解して．ただし途中式も載せること

与えられた式 \( x^5 + 3x^4 + 5x^3 + 5x^2 + 3x + 1 \) を実数係数の範囲で因数分解します。

まず、この多項式の根を探すことから始めます。今回は実数係数の多項式ですので、実数の根を持つか、もしくは共役複素数の根を持つ可能性があります。

**1. 因数定理による整数の根の確認**

因数定理によれば、定数項の因数（この場合は \( \pm1 \)）を代入して根を確認します。つまり、以下をチェックします。

\[
f(x) = x^5 + 3x^4 + 5x^3 + 5x^2 + 3x + 1
\]

\( f(1) \) を計算します：

\[
f(1) = 1^5 + 3 \cdot 1^4 + 5 \cdot 1^3 + 5 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1 = 1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18 \quad (\text{根ではない})
\]

\( f(-1) \) を計算します：

\[
f(-1) = (-1)^5 + 3 \cdot (-1)^4 + 5 \cdot (-1)^3 + 5 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) + 1 = -1 + 3 - 5 + 5 - 3 + 1 = 0
\]

よって、\( x = -1 \) はこの多項式の根です。これにより \( x + 1 \) が因数であることが分かります。

**2. 多項式の除法**

次に \( x^5 + 3x^4 + 5x^3 + 5x^2 + 3x + 1 \) を \( x + 1 \) で割ります。

\[
\text{商を求める：}
\]

\[
\begin{array}{r|l}
x + 1 & x^5 + 3x^4 + 5x^3 + 5x^2 + 3x + 1 \\
  & \underline{- (x^5 + x^4)} \\
  & \quad\quad 2x^4 + 5x^3 + 5x^2 + 3x + 1 \\
  & \underline{- (2x^4 + 2x^3)} \\
  & \quad\quad\quad 3x^3 + 5x^2 + 3x + 1 \\
  & \underline{- (3x^3 + 3x^2)} \\
  & \quad\quad\quad\quad 2x^2 + 3x + 1 \\
  & \underline{- (2x^2 + 2x)} \\
  & \quad\quad\quad\quad\quad x + 1 \\
  & \underline{- (x + 1)} \\
  & \quad\quad\quad\quad\quad\quad 0 \\
\end{array}
\]

これにより、商は \( x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \) となります。

**3. \( x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \) の因数分解**

この式を更に因数分解します。

一般に、4次の多項式を因数分解するにはいくつかの方法がありますが、まずは実数根を確認します。

根のチェックを続けたところ、この4次式は実数根を持ちません。

したがって、この多項式は実数範囲ではこれ以上因数分解できません。

**最終結果：**

したがって、元の式の因数分解は以下の通りです：

\[
x^5 + 3x^4 + 5x^3 + 5x^2 + 3x + 1 = (x + 1)(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1)
\]

何かご質問やさらに詳しい説明が必要ですか？

---

### 追加の質問
1. 多項式の因数定理とは何ですか？
2. どのようにして4次方程式の解を求めるのですか？
3. 実数係数の多項式の根の性質について説明してください。
4. 複素数の共役について説明してください。
5. 因数分解の応用例は何ですか？
6. 因数分解が不可能な場合、次に何を行うべきですか？
7. 代数方程式と超越方程式の違いは何ですか？
8. 多項式を数値解析的に解く方法について説明してください。

### Tip
複雑な多項式の因数分解は手作業では難しいことが多いため、計算機やソフトウェアを使って効率的に行うことを検討しましょう。

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