Me dê o exercício mais comum de cair em uma prova juntando esses conceitos: Variáveis Aleatórias Discretas; Distribuições Geométrica e Hipergeométrica; Aproximação da Binomial pela Poisson.

Aqui está um exercício comum que combina **Variáveis Aleatórias Discretas**, **Distribuições Geométrica e Hipergeométrica**, e a **Aproximação da Binomial pela Poisson**:

---

**Exercício:**

Uma empresa de fabricação de componentes eletrônicos tem um processo de controle de qualidade que considera que, em média, 5% dos componentes produzidos são defeituosos.

1. **Parte 1: Variável Aleatória Geométrica**
   - Suponha que os componentes são testados um a um até encontrar o primeiro componente defeituoso.
   - Seja \( X \) a variável aleatória que representa o número de componentes testados até encontrar o primeiro defeituoso.
   
   a) Qual a probabilidade de que o primeiro componente defeituoso seja encontrado no quinto teste?

2. **Parte 2: Variável Aleatória Hipergeométrica**
   - Em um lote de 20 componentes, 4 são defeituosos. Um engenheiro seleciona 5 componentes ao acaso para uma inspeção.
   
   a) Qual a probabilidade de que exatamente 2 componentes sejam defeituosos entre os 5 selecionados?

3. **Parte 3: Aproximação Binomial pela Poisson**
   - Suponha agora que em um processo de inspeção de 100 componentes, 5% são defeituosos. Use a distribuição de Poisson para aproximar a probabilidade de encontrar exatamente 2 componentes defeituosos.

---

### **Resolução:**

1. **Distribuição Geométrica:**
   A probabilidade de sucesso (encontrar um defeituoso) é \( p = 0,05 \), e a probabilidade de falha é \( q = 1 - p = 0,95 \). A probabilidade de encontrar o primeiro defeituoso no quinto teste é dada por:

   \[
   P(X = 5) = q^{4} \cdot p = (0,95)^4 \cdot 0,05
   \]

2. **Distribuição Hipergeométrica:**
   Aqui, \( N = 20 \), \( D = 4 \) (número de defeituosos), \( n = 5 \) (número de selecionados), e queremos a probabilidade de encontrar \( k = 2 \) defeituosos. A fórmula é:

   \[
   P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2}\binom{16}{3}}{\binom{20}{5}}
   \]

3. **Aproximação Binomial pela Poisson:**
   A variável aleatória binomial \( X \sim \text{Binomial}(n = 100, p = 0,05) \) pode ser aproximada por uma distribuição de Poisson com \( \lambda = np = 100 \cdot 0,05 = 5 \). A probabilidade de encontrar exatamente 2 defeituosos é:

   \[
   P(X = 2) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-5} \cdot 5^2}{2}
   \]

---

Quer os detalhes de resolução passo a passo para cada parte?

### Perguntas Relacionadas:
1. Como se deduz a fórmula da distribuição geométrica?
2. Quando é adequado usar a distribuição hipergeométrica em vez da binomial?
3. Em que casos a distribuição binomial pode ser bem aproximada pela de Poisson?
4. Quais são os parâmetros essenciais para definir uma distribuição de Poisson?
5. Como calcular a probabilidade cumulativa em uma distribuição geométrica?

### Dica:
Quando a probabilidade de sucesso \( p \) é muito pequena e o número de tentativas \( n \) é grande, a distribuição de Poisson é uma excelente aproximação para a binomial!

Este exercício cobre conceitos importantes como variáveis aleatórias discretas, distribuições geométrica e hipergeométrica, além da aproximação binomial pela Poisson. Inclui exemplos práticos e a aplicação de fórmulas essenciais, adequado para alunos de nível universitário.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation