como sei que é maior ou menor que zero para todos os reais?

Para determinar se uma expressão é maior ou menor que zero para todos os números reais (\(\mathbb{R}\)), precisamos analisar o comportamento das funções envolvidas e verificar seus sinais em diferentes intervalos. Vamos analisar cada termo da expressão \((x^2 + 4)(-x^2 - x - 1) < 0\) separadamente e depois combiná-los.

### Analisando \(x^2 + 4\)

1. **Função:** \(x^2 + 4\)
2. **Tipo:** Parabólica, abre para cima.
3. **Raízes reais:** Não tem, pois \(x^2 + 4 = 0\) não tem solução real (as raízes são complexas, \(x = \pm 2i\)).
4. **Sinal:** Como \(x^2 + 4\) é uma parábola que abre para cima e seu valor mínimo é 4 (em \(x = 0\)), \(x^2 + 4 > 0\) para todos os \(x \in \mathbb{R}\).

### Analisando \(-x^2 - x - 1\)

1. **Função:** \(-x^2 - x - 1\)
2. **Tipo:** Parabólica, abre para baixo.
3. **Raízes reais:** Não tem, pois \(-x^2 - x - 1 = 0\) não tem solução real (as raízes são complexas, \(x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{-2}\)).
4. **Sinal:** Como \(-x^2 - x - 1\) é uma parábola que abre para baixo e não cruza o eixo \(x\) (não tem raízes reais), \(-x^2 - x - 1 < 0\) para todos os \(x \in \mathbb{R}\).

### Combinando os Resultados

- \(x^2 + 4 > 0\) para todos os \(x \in \mathbb{R}\).
- \(-x^2 - x - 1 < 0\) para todos os \(x \in \mathbb{R}\).

Portanto, o produto \((x^2 + 4)(-x^2 - x - 1)\) é a multiplicação de um número positivo por um número negativo, resultando sempre em um número negativo. Assim, a expressão \((x^2 + 4)(-x^2 - x - 1) < 0\) é verdadeira para todos os \(x \in \mathbb{R}\).

### Verificação Gráfica

Para maior segurança, você pode esboçar o gráfico de cada função e verificar que \(x^2 + 4\) é sempre positivo e \(-x^2 - x - 1\) é sempre negativo. Isso confirma que o produto dos dois é sempre negativo.

### Resumo

A expressão \((x^2 + 4)(-x^2 - x - 1) < 0\) é sempre verdadeira para qualquer valor de \(x\) em \(\mathbb{R}\) porque o primeiro termo \(x^2 + 4\) é sempre positivo e o segundo termo \(-x^2 - x - 1\) é sempre negativo. Portanto, seu produto será sempre menor que zero.

Você quer detalhes ou tem alguma pergunta? Aqui estão algumas questões relacionadas que você pode considerar:

1. Como determinar o sinal de uma função quadrática em intervalos específicos?
2. Quais são as propriedades das raízes complexas em funções quadráticas?
3. Como esboçar o gráfico de uma função quadrática?
4. O que significa o vértice de uma parábola e como calculá-lo?
5. Como resolver inequalidades quadráticas utilizando a análise de sinais?
6. Quais são os métodos para determinar se uma função não tem raízes reais?
7. Como usar o discriminante para analisar a natureza das raízes de uma função quadrática?
8. Quais são as aplicações práticas de inequações envolvendo produtos de polinômios?

**Dica:** Sempre que resolver inequações com produtos de funções, determine os sinais de cada fator separadamente e analise como eles se combinam em diferentes intervalos.

Understand how to determine if a quadratic expression is greater or less than zero for all real numbers with a detailed analysis. This problem involves inequalities, quadratic equations, and function analysis. Suitable for Grades 10-12.

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