Bestimme die Menge aller reellen Zahlen r, für die es eine unendliche Folge positiver ganzer Zahlen
a1, a2, … mit folgenden drei Eigenschaften gibt:
(1)  Keine Zahl kommt mehr als einmal als Folgenglied vor.
(2)  Die Summe zweier verschiedener Folgenglieder ist nie eine Zweierpotenz.
(3)  Es gilt a_n < r*n für alle positiven ganzen Zahlen n.

Gegeben ist die Aufgabe, die Menge aller reellen Zahlen \( r \) zu bestimmen, für die es eine unendliche Folge positiver ganzer Zahlen \( a_1, a_2, \dots \) gibt, welche die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. Keine Zahl kommt mehr als einmal als Folgenglied vor.
2. Die Summe zweier verschiedener Folgenglieder ist nie eine Zweierpotenz.
3. Es gilt \( a_n < r \cdot n \) für alle positiven ganzen Zahlen \( n \).

### Schritt 1: Analyse der Bedingungen

- **Bedingung 1** besagt, dass die Folge \( (a_n) \) aus verschiedenen positiven ganzen Zahlen bestehen muss.
- **Bedingung 2** verbietet, dass die Summe zweier verschiedener Elemente der Folge eine Zweierpotenz ist.
- **Bedingung 3** legt fest, dass jedes Folgenglied \( a_n \) kleiner ist als \( r \cdot n \).

### Schritt 2: Untersuchung von Bedingung 3

Um die Menge der möglichen \( r \) zu bestimmen, betrachten wir insbesondere Bedingung 3:

- Die Folge \( (a_n) \) besteht aus positiven ganzen Zahlen, also ist \( a_n \geq 1 \) für jedes \( n \).
- Daraus folgt \( 1 \leq a_n < r \cdot n \).

Betrachten wir große \( n \). Da \( a_n \) eine positive ganze Zahl ist, muss \( r \cdot n \) mindestens \( a_n + 1 \) sein, also:

\[
r > \frac{a_n}{n}
\]

Für jede Folge \( (a_n) \), bei der \( a_n \) linear mit \( n \) wächst, z.B. \( a_n = cn \) für eine Konstante \( c \), ergibt sich:

\[
r > \frac{c \cdot n}{n} = c
\]

Das bedeutet, \( r \) muss mindestens \( c \) betragen. 

### Schritt 3: Spezifische Untersuchung der Folge

Eine interessante Folge \( (a_n) \) könnte die Folge der natürlichen Zahlen sein: \( a_n = n \).

Für \( a_n = n \) wird Bedingung 3 erfüllt, wenn \( r > 1 \). In diesem Fall:

\[
a_n = n < r \cdot n
\]

Betrachten wir Bedingung 2: 

- Die Summe \( n + m \) für verschiedene \( n \) und \( m \) aus der Folge \( a_n = n \) ist niemals eine Zweierpotenz, weil \( n + m \) für unterschiedliche \( n, m \) immer eine ungerade Zahl ergibt, die keine Zweierpotenz ist.

Somit ist \( r > 1 \) eine notwendige Bedingung, um die dritte Bedingung zu erfüllen.

### Schritt 4: Abschätzung der optimalen \( r \)

Nehmen wir an, \( r \leq 2 \). Dann könnte man \( a_n = n \) verwenden und es gilt \( a_n = n < r \cdot n \) für alle \( n \), da \( r \) größer als 1 ist.

Wenn \( r \) zu groß wird, z.B. \( r > 2 \), wird es schwieriger, die zweite Bedingung zu erfüllen, da die Differenzen und Summen innerhalb der Folge größer werden und es schwieriger wird, die Summe zweier Elemente zu verhindern, eine Zweierpotenz zu sein.

Daher kommen wir zu dem Schluss:

\[
\text{Die Menge aller } r \text{ ist } (1, 2).
\]

### Endgültige Antwort

Die Menge aller reellen Zahlen \( r \), für die es eine solche unendliche Folge gibt, ist \( r \in (1, 2] \).

### Fragen zum Weiterdenken:

1. Wie könnte die Lösung aussehen, wenn Bedingung 2 eine Zweierpotenz erlaubt?
2. Was passiert, wenn wir Bedingung 3 so ändern, dass \( a_n \leq r \cdot n \) gilt?
3. Gibt es spezielle Folgen, die diese Bedingung für \( r = 2 \) noch erfüllen könnten?
4. Wie ändert sich das Ergebnis, wenn \( a_n \) quadratische Zahlen sind?
5. Kann man eine ähnliche Problemstellung für komplexe Zahlen entwickeln?

### Tipp:
Wenn man solche Problemstellungen bearbeitet, ist es hilfreich, mit einfachen Folgen zu beginnen und schrittweise komplexere Fälle zu analysieren.

Explore the problem of determining all real numbers r for which there exists an infinite sequence of positive integers satisfying specific conditions. Understand the implications of the conditions, including no repeated sequence elements, avoidance of sums as powers of two, and linear inequality constraints. Ideal for advanced mathematics enthusiasts.

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