В городе живут ﻿234﻿ человечка: красные и зелёные. Красные человечки всегда говорят правду, а зелёные ﻿−−﻿ всегда врут. В один день каждый из жителей города получил по футболке. На футболках написаны числа от ﻿1﻿ до ﻿234﻿ (каждое ровно по одному разу). Жители города встали в хоровод и каждый заявил: "Число на моей футболке больше, чем числа на футболках обоих моих соседей!". Через некоторое время некоторые из человечков заявили: "Число на моей футболе меньше, чем числа на футболках обоих моих соседей!" Какое наибольшее количество человечков могло такое сказать? 

Давайте рассмотрим задачу и найдем максимальное количество человечков, которые могли бы сказать, что число на их футболке меньше, чем числа на футболках обоих соседей.

### Условие задачи
- В городе 234 жителя.
- У каждого жителя на футболке написано число от 1 до 234.
- Жители высказывают два вида утверждений:
  1. Число на моей футболке больше, чем числа на футболках обоих моих соседей.
  2. Число на моей футболке меньше, чем числа на футболках обоих моих соседей.

### Разбор задачи
Пусть \( a_1, a_2, \dots, a_{234} \) — числа на футболках, где \( a_i \) — число на футболке \( i \)-го жителя. Рассмотрим жителя с числом \( a_i \), и пусть его соседи \( a_{i-1} \) и \( a_{i+1} \). Если \( a_i \) утверждает, что его число меньше, чем числа на футболках обоих его соседей, то должно выполняться неравенство:
\[
a_i < \min(a_{i-1}, a_{i+1})
\]
Это означает, что \( a_i \) меньше обоих своих соседей. 

#### Анализ
Сначала отметим, что житель, который утверждает, что его число меньше, чем у обоих его соседей, должен находиться между двумя жителями с числами больше, чем у него. Максимальное количество таких жителей можно получить, если чередовать "малое" число и два "больших". Например, если число \( a_i \) находится в последовательности \( \dots, 2, 1, 3, \dots \), то житель с числом 1 может сделать это утверждение.

Максимальное количество таких утверждений будет, если у нас есть последовательность \( \dots, b, a, c, \dots \), где \( a \) меньше и \( b \) и \( c \) больше \( a \). В этом случае \( a \) может утверждать, что оно меньше обоих своих соседей. Если упорядочить такие тройки чередующимися, то на каждый такой \( a \) будет по две "больших" числа (по одному с каждой стороны).

Таким образом, максимальное количество таких утверждений будет достигнуто, если мы выберем каждый третий житель, начиная с первого или второго (в зависимости от стартовой точки), как жителя, утверждающего, что его число меньше, чем у соседей.

### Итоговое решение
Так как всего жителей 234, то \( \frac{234}{3} = 78 \). Максимальное количество жителей, которые могли бы сказать, что их число меньше, чем числа на футболках обоих соседей, равно 78.

### Ответ
**Максимальное количество человечков, которые могли сказать, что число на их футболке меньше, чем числа на футболках обоих их соседей, равно 78.**

### Вопросы:
1. Какую роль играет четность/нечетность количества человечков в решении задачи?
2. Что изменится, если бы количество жителей было нечётным?
3. Влияет ли порядок расстановки жителей на количество возможных заявлений?
4. Как будет изменяться решение задачи, если количество соседей увеличить с двух до трех?
5. Возможно ли аналогичное утверждение, если числа на футболках будут назначены случайным образом?

### Совет:
Чтобы лучше понять логику задач на чередование, попробуйте решить похожие задачи с меньшим количеством участников и чисел.

Discover the solution to a problem where townspeople make statements about numbers on their t-shirts. Explore inequalities and number theory concepts in this mathematical problem. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation