El ejemplo de couchy goursat esta mal porque dentro de la circuferencia centrada en el origen tiene una singularidad y couchy te pide que debe ser analitica dentro y sobre el contorno de integracion.

Tienes toda la razón. Me disculpo por el error en el ejemplo del Teorema de Cauchy-Goursat. Vamos a corregirlo y proporcionar un ejemplo correcto.

### 4. Teorema de Cauchy-Goursat (corrección)

**Definición:**
El teorema de Cauchy-Goursat establece que si una función \( f \) es holomorfa (analítica) dentro y en el contorno cerrado \( C \), entonces la integral de línea de \( f \) alrededor de \( C \) es cero:
\[ \oint_C f(z) \, dz = 0. \]

**Aplicaciones:**
- Evaluación de integrales complejas.
- Teoría de funciones de variable compleja.
- Estudio de propiedades de funciones holomorfas.

**Ejemplo corregido:**
Supongamos que \( f(z) = z^2 + 1 \), una función holomorfa en todo el plano complejo. Consideremos el contorno \( C \) como una circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

\[ f(z) = z^2 + 1 \]

Como \( f(z) \) es holomorfa en todo el plano complejo, en particular es holomorfa dentro y sobre \( C \). Según el teorema de Cauchy-Goursat:

\[ \oint_C (z^2 + 1) \, dz = 0. \]

Aquí, la función \( z^2 + 1 \) no tiene singularidades dentro de la circunferencia \( C \), por lo tanto, cumple con las condiciones del teorema, y la integral es cero.

### Comparación y Conclusión

- **Teorema Fundamental del Cálculo:** Conecta derivadas e integrales de funciones reales.
- **Teorema Fundamental del Cálculo (con Contorno Cerrado):** Extiende el teorema a integrales de contorno en el plano complejo.
- **Parametrización:** Herramienta para describir objetos geométricos mediante parámetros, útil en varias ramas del cálculo y la geometría.
- **Teorema de Cauchy-Goursat:** Proporciona una condición para que la integral de una función holomorfa sobre un contorno cerrado sea cero, clave en análisis complejo.

Espero que esta corrección te haya ayudado a comprender mejor el teorema de Cauchy-Goursat. ¿Quieres más detalles sobre alguno de ellos o tienes alguna pregunta específica?

### Preguntas para profundizar:
1. ¿Cómo se aplica el Teorema Fundamental del Cálculo en problemas de movimiento?
2. ¿Cuál es la relación entre el Teorema de Cauchy-Goursat y la teoría de residuos?
3. ¿Cómo se parametriza una superficie en el espacio tridimensional?
4. ¿Qué aplicaciones prácticas tiene la parametrización en la computación gráfica?
5. ¿Cómo se puede usar el Teorema Fundamental del Cálculo (con Contorno Cerrado) en física?

### Consejo:
Cuando estudies integrales en el plano complejo, familiarízate bien con los conceptos de singularidades y puntos críticos, ya que son fundamentales para aplicar teoremas como el de Cauchy-Goursat y la teoría de residuos.

Corrección y explicación detallada del Teorema de Cauchy-Goursat en el contexto del análisis complejo. Incluye un ejemplo corregido y aplicaciones prácticas. Ideal para estudiantes y profesionales interesados en matemáticas avanzadas y análisis complejo.

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