tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut f(x) = (x + 1)²/ x

Untuk menentukan selang kecekungan (interval kekonveksian) dan titik belok dari fungsi \( f(x) = \frac{(x+1)^2}{x} \), kita perlu melakukan beberapa langkah yang melibatkan turunan kedua dari fungsi tersebut.

### Langkah 1: Cari turunan pertama
Fungsi \( f(x) = \frac{(x+1)^2}{x} \) bisa dipecah dan dihitung turunan pertamanya menggunakan aturan turunan fungsi pecahan. 

\[
f(x) = \frac{(x+1)^2}{x} = x + 2 + \frac{1}{x}
\]

Turunan pertama \( f'(x) \) adalah:

\[
f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}
\]

### Langkah 2: Cari turunan kedua
Setelah mendapatkan turunan pertama, kita cari turunan keduanya untuk menentukan kecekungan fungsi:

\[
f''(x) = \frac{2}{x^3}
\]

### Langkah 3: Tentukan tanda turunan kedua
Kecekungan fungsi ditentukan berdasarkan tanda dari turunan kedua \( f''(x) \).

- Jika \( f''(x) > 0 \), maka fungsi cekung ke atas (konveks).
- Jika \( f''(x) < 0 \), maka fungsi cekung ke bawah (konkaf).

Untuk \( f''(x) = \frac{2}{x^3} \):
- Jika \( x > 0 \), maka \( f''(x) > 0 \), artinya fungsi cekung ke atas.
- Jika \( x < 0 \), maka \( f''(x) < 0 \), artinya fungsi cekung ke bawah.

### Langkah 4: Cari titik belok
Titik belok terjadi ketika \( f''(x) = 0 \) atau ketika turunan kedua berubah tanda. 

Namun, \( f''(x) = \frac{2}{x^3} \) tidak pernah bernilai nol. Tetapi, ada kemungkinan perubahan tanda di sekitar \( x = 0 \) karena pada \( x = 0 \), turunan kedua tidak terdefinisi.

### Kesimpulan
- Fungsi cekung ke bawah pada interval \( (-\infty, 0) \).
- Fungsi cekung ke atas pada interval \( (0, \infty) \).
- \( x = 0 \) adalah titik tak terdefinisi, tetapi merupakan titik di mana terjadi perubahan kecekungan, sehingga dapat dianggap sebagai **titik belok**.

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau memiliki pertanyaan? Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menghitung turunan dari fungsi rasional lainnya?
2. Apa perbedaan antara kecekungan dan konveksitas?
3. Apa peran titik belok dalam analisis grafik fungsi?
4. Bagaimana cara menentukan interval naik atau turun dari suatu fungsi?
5. Mengapa \( f(x) = \frac{(x+1)^2}{x} \) memiliki titik tidak terdefinisi di \( x = 0 \)?

**Tip:** Saat menggambar grafik fungsi, titik belok dan interval kecekungan dapat membantu menentukan bentuk kurva yang lebih akurat.

Learn how to determine the concavity intervals and inflection point of the function f(x) = (x + 1)² / x. This calculus problem explores the use of first and second derivatives to find intervals of concavity and identify potential inflection points. Suitable for Grades 10-12 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation