Untuk menentukan selang kecekungan dan titik belok dari fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 3}$, kita perlu mengikuti beberapa langkah, yaitu:

1. Tentukan turunan pertama $f'(x)$ untuk menemukan interval peningkatan atau penurunan fungsi.
2. Tentukan turunan kedua $f''(x)$ untuk menentukan interval kecekungan dan titik belok.

1. Turunan Pertama $f'(x)$

Kita gunakan aturan turunan untuk fungsi pecahan, yaitu:

$f'(x) = \frac{(u/v)' = u'v - uv'}{v^2}$

Dengan $u = x^2 - 3x + 1$ dan $v = x - 3$, maka:

• $u' = 2x - 3$
• $v' = 1$

Sehingga turunan pertama $f'(x)$ adalah:

$f'(x) = \frac{(2x - 3)(x - 3) - (x^2 - 3x + 1)(1)}{(x - 3)^2}$

Sederhanakan:

$f'(x) = \frac{2x^2 - 6x - 3x + 9 - x^2 + 3x - 1}{(x - 3)^2}$ $f'(x) = \frac{x^2 - 7x + 8}{(x - 3)^2}$

2. Turunan Kedua $f''(x)$

Turunan kedua $f''(x)$ diperlukan untuk menentukan kecekungan. Kita gunakan aturan turunan fungsi pecahan lagi:

$f''(x) = \frac{(p/q)' = p'q - pq'}{q^2}$

Dengan $p = x^2 - 7x + 8$ dan $q = (x - 3)^2$, maka:

• $p' = 2x - 7$
• $q' = 2(x - 3)$

Sehingga turunan kedua $f''(x)$ adalah:

$f''(x) = \frac{(2x - 7)(x - 3)^2 - (x^2 - 7x + 8) \cdot 2(x - 3)}{(x - 3)^4}$

Kita sederhanakan:

$f''(x) = \frac{(2x - 7)(x - 3)(x - 3) - 2(x^2 - 7x + 8)(x - 3)}{(x - 3)^4}$

Karena $(x - 3)$ adalah faktor umum, kita dapat mengeluarkannya:

$f''(x) = \frac{(2x - 7)(x - 3) - 2(x^2 - 7x + 8)}{(x - 3)^3}$

$f''(x) = \frac{2x^2 - 13x + 21 - 2x^2 + 14x - 16}{(x - 3)^3}$

$f''(x) = \frac{x - 5}{(x - 3)^3}$

3. Menentukan Kecekungan dan Titik Belok

• Fungsi cekung ke atas jika $f''(x) > 0$.
• Fungsi cekung ke bawah jika $f''(x) < 0$.
• Titik belok terjadi jika $f''(x) = 0$.

$f''(x) = 0$ ketika $x - 5 = 0$, jadi $x = 5$. Ini adalah titik belok.

Untuk selang kecekungan:

• Untuk $x < 3$ atau $x > 3$ dan $x < 5$, $f''(x) > 0$ (cekung ke atas).
• Untuk $x > 5$, $f''(x) < 0$ (cekung ke bawah).

Kesimpulan

• Selang kecekungan:

  • Cekung ke atas: $(-\infty, 3) \cup (3, 5)$
  • Cekung ke bawah: $(5, \infty)$

• Titik belok: $x = 5$

Apakah ada bagian yang ingin dijelaskan lebih lanjut, atau ada pertanyaan lain?

1. Apa hubungan antara turunan kedua dan kecekungan?
2. Bagaimana cara menentukan titik ekstrim fungsi ini?
3. Apakah ada asimtot pada fungsi ini? Jika ada, bagaimana cara mencarinya?
4. Apa pengaruh nilai $f''(x)$ pada bentuk grafik fungsi?
5. Bagaimana menggambarkan grafik fungsi ini?

Tip: Menggambar grafik fungsi setelah mengetahui kecekungan dan titik belok sangat membantu dalam memahami perilaku fungsi secara keseluruhan.