tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut f(x) = x² -2x + 1/x-2

Untuk menentukan selang kecekungan (interval cekung ke atas dan cekung ke bawah) serta titik belok fungsi \( f(x) = x^2 - 2x + \frac{1}{x} - 2 \), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

### 1. Turunan Pertama (\( f'(x) \))
Langkah pertama adalah menghitung turunan pertama untuk mengetahui sifat monoton dari fungsi. Turunan pertama ini akan kita gunakan juga untuk mencari turunan kedua.

\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 - 2x + \frac{1}{x} - 2 \right)
\]
Menggunakan aturan turunan:
\[
f'(x) = 2x - 2 - \frac{1}{x^2}
\]

### 2. Turunan Kedua (\( f''(x) \))
Sekarang, kita hitung turunan kedua untuk menentukan cekung ke atas atau ke bawah serta titik belok.

\[
f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x - 2 - \frac{1}{x^2} \right)
\]
\[
f''(x) = 2 + \frac{2}{x^3}
\]

### 3. Tentukan Sifat Kecekungan
Fungsi cekung ke atas jika \( f''(x) > 0 \) dan cekung ke bawah jika \( f''(x) < 0 \).

\[
f''(x) = 2 + \frac{2}{x^3}
\]
Sekarang, kita analisis tanda dari \( f''(x) \):

- Untuk \( x > 0 \), \( x^3 > 0 \) sehingga \( \frac{2}{x^3} > 0 \). Maka, \( f''(x) > 0 \), sehingga fungsi cekung ke atas di interval \( x > 0 \).
- Untuk \( x < 0 \), \( x^3 < 0 \) sehingga \( \frac{2}{x^3} < 0 \). Maka, \( f''(x) < 0 \), sehingga fungsi cekung ke bawah di interval \( x < 0 \).

### 4. Tentukan Titik Belok
Titik belok terjadi ketika \( f''(x) = 0 \). Kita selesaikan persamaan \( f''(x) = 0 \):

\[
2 + \frac{2}{x^3} = 0
\]
\[
\frac{2}{x^3} = -2
\]
\[
x^3 = -1
\]
\[
x = -1
\]

Jadi, ada titik belok di \( x = -1 \).

### Kesimpulan:
- Fungsi cekung ke bawah pada interval \( (-\infty, -1) \).
- Fungsi cekung ke atas pada interval \( (-1, \infty) \).
- Titik belok terjadi pada \( x = -1 \).

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa Anda eksplorasi:
1. Bagaimana cara menentukan titik stasioner suatu fungsi?
2. Apa itu turunan dan bagaimana cara menghitungnya secara umum?
3. Apa perbedaan antara cekung ke atas dan cekung ke bawah dalam grafik fungsi?
4. Bagaimana menentukan titik ekstrim lokal dari suatu fungsi?
5. Apa hubungan antara turunan pertama dan kedua dalam analisis fungsi?

**Tip:** Dalam analisis grafik fungsi, perhatikan turunan pertama untuk menentukan naik turunnya grafik dan turunan kedua untuk kecekungan serta titik beloknya.

Learn how to find the concavity intervals and inflection points for the function f(x) = x² - 2x + 1/x - 2 using derivatives. This problem demonstrates key calculus concepts, including the concavity test and the identification of inflection points. Suitable for Grades 11-12 students studying calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation