tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut f(x) = x² -2x + 1/ x - 2

Untuk menentukan selang kecekungan dan titik belok dari fungsi \( f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 2} \), kita harus mengikuti langkah-langkah berikut:

### 1. Mencari Turunan Pertama \( f'(x) \)
Turunan pertama akan membantu kita menemukan interval di mana fungsi naik atau turun.

Diberikan fungsi:

\[
f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 2}
\]

Kita dapat menggunakan **aturan hasil bagi** untuk menurunkannya, dengan \( u(x) = x^2 - 2x + 1 \) dan \( v(x) = x - 2 \):

\[
f'(x) = \frac{(v(x) \cdot u'(x)) - (u(x) \cdot v'(x))}{(v(x))^2}
\]

Menghitung turunan dari \( u(x) \) dan \( v(x) \):

\[
u'(x) = 2x - 2, \quad v'(x) = 1
\]

Jadi,

\[
f'(x) = \frac{(x - 2)(2x - 2) - (x^2 - 2x + 1)(1)}{(x - 2)^2}
\]

Sederhanakan:

\[
f'(x) = \frac{(2x^2 - 4x - 2x + 4) - (x^2 - 2x + 1)}{(x - 2)^2}
\]

\[
f'(x) = \frac{2x^2 - 6x + 4 - x^2 + 2x - 1}{(x - 2)^2}
\]

\[
f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}
\]

### 2. Mencari Turunan Kedua \( f''(x) \)
Turunan kedua digunakan untuk menentukan kecekungan dan titik belok. Kita dapat menggunakan **aturan hasil bagi** lagi untuk menurunkannya:

\[
f''(x) = \frac{(v(x))^2 \cdot u''(x) - (2v(x)v'(x)) \cdot u'(x)}{(v(x))^4}
\]

Namun, langkah ini melibatkan perhitungan yang lebih rinci. Mari selesaikan ini.

Setelah menyederhanakan, kita mendapatkan:

- Turunan pertama:

\[
f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}
\]

- Turunan kedua:

\[
f''(x) = \frac{2}{(x - 2)^3}
\]

### 3. Menentukan Kecekungan
Kecekungan ditentukan oleh tanda dari turunan kedua \( f''(x) \):

- Jika \( f''(x) > 0 \), fungsi cekung ke atas.
- Jika \( f''(x) < 0 \), fungsi cekung ke bawah.

Karena \( f''(x) = \frac{2}{(x - 2)^3} \), kita lihat bahwa kecekungan bergantung pada tanda dari \( (x - 2)^3 \):

- Jika \( x > 2 \), maka \( f''(x) > 0 \), sehingga fungsi cekung ke atas.
- Jika \( x < 2 \), maka \( f''(x) < 0 \), sehingga fungsi cekung ke bawah.

### 4. Menentukan Titik Belok
Titik belok terjadi ketika \( f''(x) = 0 \) atau tidak terdefinisi, dan terjadi perubahan tanda kecekungan.

Karena turunan kedua tidak pernah bernilai nol tetapi tidak terdefinisi pada \( x = 2 \), maka titik \( x = 2 \) adalah **titik belok**.

### Kesimpulan:
- **Kecekungan:**
  - Cekung ke bawah pada interval \( (-\infty, 2) \)
  - Cekung ke atas pada interval \( (2, \infty) \)
- **Titik belok:** \( x = 2 \)

Ingin penjelasan lebih lanjut atau ada yang ingin ditanyakan?

Berikut 5 soal terkait:
1. Tentukan turunan pertama dari fungsi \( f(x) = \frac{x^2 + 3x - 4}{x - 1} \).
2. Bagaimana cara menentukan titik stasioner suatu fungsi?
3. Tentukan interval kecekungan fungsi \( g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \).
4. Apa yang dimaksud dengan cekung ke atas dan cekung ke bawah dalam grafik suatu fungsi?
5. Cari titik belok dari fungsi \( h(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \).

**Tip:** Dalam menentukan titik belok, selalu cek perubahan tanda pada turunan kedua.

Learn how to determine the concavity and inflection points of the function f(x) = (x² - 2x + 1) / (x - 2) using calculus. This problem covers derivative rules, concavity, and identifying inflection points, suitable for advanced high school calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation