Untuk menentukan selang kecekungan dan titik belok dari fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 2}$, kita harus mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Mencari Turunan Pertama $f'(x)$

Turunan pertama akan membantu kita menemukan interval di mana fungsi naik atau turun.

Diberikan fungsi:

$f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 2}$

Kita dapat menggunakan aturan hasil bagi untuk menurunkannya, dengan $u(x) = x^2 - 2x + 1$ dan $v(x) = x - 2$:

$f'(x) = \frac{(v(x) \cdot u'(x)) - (u(x) \cdot v'(x))}{(v(x))^2}$

Menghitung turunan dari $u(x)$ dan $v(x)$:

$u'(x) = 2x - 2, \quad v'(x) = 1$

Jadi,

$f'(x) = \frac{(x - 2)(2x - 2) - (x^2 - 2x + 1)(1)}{(x - 2)^2}$

Sederhanakan:

$f'(x) = \frac{(2x^2 - 4x - 2x + 4) - (x^2 - 2x + 1)}{(x - 2)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^2 - 6x + 4 - x^2 + 2x - 1}{(x - 2)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}$

2. Mencari Turunan Kedua $f''(x)$

Turunan kedua digunakan untuk menentukan kecekungan dan titik belok. Kita dapat menggunakan aturan hasil bagi lagi untuk menurunkannya:

$f''(x) = \frac{(v(x))^2 \cdot u''(x) - (2v(x)v'(x)) \cdot u'(x)}{(v(x))^4}$

Namun, langkah ini melibatkan perhitungan yang lebih rinci. Mari selesaikan ini.

Setelah menyederhanakan, kita mendapatkan:

• Turunan pertama:

$f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}$

• Turunan kedua:

$f''(x) = \frac{2}{(x - 2)^3}$

3. Menentukan Kecekungan

Kecekungan ditentukan oleh tanda dari turunan kedua $f''(x)$:

• Jika $f''(x) > 0$, fungsi cekung ke atas.
• Jika $f''(x) < 0$, fungsi cekung ke bawah.

Karena $f''(x) = \frac{2}{(x - 2)^3}$, kita lihat bahwa kecekungan bergantung pada tanda dari $(x - 2)^3$:

• Jika $x > 2$, maka $f''(x) > 0$, sehingga fungsi cekung ke atas.
• Jika $x < 2$, maka $f''(x) < 0$, sehingga fungsi cekung ke bawah.

4. Menentukan Titik Belok

Titik belok terjadi ketika $f''(x) = 0$ atau tidak terdefinisi, dan terjadi perubahan tanda kecekungan.

Karena turunan kedua tidak pernah bernilai nol tetapi tidak terdefinisi pada $x = 2$, maka titik $x = 2$ adalah titik belok.

Kesimpulan:

• Kecekungan:
  • Cekung ke bawah pada interval $(-\infty, 2)$
  • Cekung ke atas pada interval $(2, \infty)$
• Titik belok: $x = 2$

Ingin penjelasan lebih lanjut atau ada yang ingin ditanyakan?

Berikut 5 soal terkait:

1. Tentukan turunan pertama dari fungsi $f(x) = \frac{x^2 + 3x - 4}{x - 1}$.
2. Bagaimana cara menentukan titik stasioner suatu fungsi?
3. Tentukan interval kecekungan fungsi $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$.
4. Apa yang dimaksud dengan cekung ke atas dan cekung ke bawah dalam grafik suatu fungsi?
5. Cari titik belok dari fungsi $h(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$.

Tip: Dalam menentukan titik belok, selalu cek perubahan tanda pada turunan kedua.