tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut f(x) = x² - 3x + 1/x-3

Untuk menentukan **selang kecekungan** dan **titik belok** dari fungsi \( f(x) = \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 3} \), kita harus melalui beberapa langkah penting yang melibatkan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi tersebut. Berikut langkah-langkah penyelesaiannya:

### 1. Tentukan Turunan Pertama
Turunan pertama \( f'(x) \) diperlukan untuk mengetahui di mana fungsi ini naik atau turun. Kita akan menggunakan aturan hasil bagi (quotient rule) karena bentuk fungsi ini adalah hasil bagi dua fungsi.

\[
f'(x) = \frac{(x - 3)(2x - 3) - (x^2 - 3x + 1)}{(x - 3)^2}
\]

### 2. Tentukan Turunan Kedua
Turunan kedua \( f''(x) \) diperlukan untuk menentukan kecekungan fungsi dan lokasi titik beloknya. Untuk mencari turunan kedua, kita akan menurunkan \( f'(x) \) sekali lagi.

\[
f''(x) = \frac{d}{dx}\left( f'(x) \right)
\]

### 3. Tentukan Kecekungan dan Titik Belok
- **Kecekungan** (concavity) terjadi ketika \( f''(x) > 0 \) (cekung ke atas) atau \( f''(x) < 0 \) (cekung ke bawah).
- **Titik belok** terjadi ketika \( f''(x) = 0 \) dan terjadi perubahan tanda pada \( f''(x) \).

Agar lebih jelas, saya akan menghitung turunan pertama dan kedua secara eksplisit.

Mari saya hitung terlebih dahulu.### 1. Turunan Pertama
Turunan pertama dari fungsi \( f(x) = \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 3} \) adalah:

\[
f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 3)^2}
\]

### 2. Turunan Kedua
Turunan kedua dari fungsi tersebut adalah:

\[
f''(x) = \frac{2}{(x - 3)^3}
\]

### 3. Tentukan Kecekungan dan Titik Belok

- **Kecekungan (Concavity)**:
  - Jika \( f''(x) > 0 \), maka fungsi cekung ke atas (concave up).
  - Jika \( f''(x) < 0 \), maka fungsi cekung ke bawah (concave down).
  
Karena turunan kedua adalah \( \frac{2}{(x - 3)^3} \), kita dapat menentukan kecekungan berdasarkan tanda pembilang dan penyebut:

- Untuk \( x < 3 \), \( f''(x) > 0 \) → fungsi cekung ke atas.
- Untuk \( x > 3 \), \( f''(x) < 0 \) → fungsi cekung ke bawah.

- **Titik Belok (Inflection Point)**: Titik belok terjadi jika \( f''(x) = 0 \), tetapi dari hasil ini terlihat bahwa turunan kedua tidak pernah nol. Namun, ada perubahan kecekungan di sekitar \( x = 3 \), yang berarti \( x = 3 \) adalah **asymptote vertikal**, bukan titik belok.

### Kesimpulan:
- **Selang kecekungan**:
  - Cekung ke atas: \( (-\infty, 3) \)
  - Cekung ke bawah: \( (3, \infty) \)
  
- **Titik belok**: Tidak ada titik belok pada fungsi ini.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan yang terkait:
1. Bagaimana cara mencari turunan dari fungsi trigonometri?
2. Apa perbedaan antara titik belok dan titik kritis?
3. Bagaimana cara menentukan asimtot pada suatu fungsi?
4. Bagaimana penggunaan aturan hasil bagi dalam turunan?
5. Mengapa penting memahami kecekungan fungsi dalam grafik?

**Tip**: Titik belok bukan hanya bergantung pada turunan kedua sama dengan nol, tetapi juga perubahan tanda dari turunan kedua.

Learn how to determine the concavity and inflection points of the function f(x) = (x² - 3x + 1)/(x - 3) by using first and second derivatives. This detailed explanation covers the quotient rule for derivatives and the inflection point theorem. Suitable for undergraduate calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation