En una progresión aritmética, el primer término es 28 y la diferencia es 50. En una progresión geométrica, el primer término es 1 y la razón es 1,5. Halle el menor valor de n para el cual el enésimo término de la progresión geométrica es mayor que el enésimo término de la progresión aritmética.

Para resolver este problema, primero necesitamos las expresiones para los enésimos términos de la progresión aritmética y la progresión geométrica. Luego, compararemos estas expresiones para hallar el valor de \(n\) en el cual el término enésimo de la progresión geométrica sea mayor que el de la progresión aritmética.

### Paso 1: Término enésimo de la progresión aritmética
Una progresión aritmética (PA) tiene la siguiente fórmula para el enésimo término \(a_n\):

\[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
\]

donde:
- \(a_1 = 28\) (primer término),
- \(d = 50\) (diferencia común).

Entonces, el enésimo término de la progresión aritmética es:

\[
a_n = 28 + (n-1) \cdot 50 = 28 + 50n - 50 = 50n - 22
\]

### Paso 2: Término enésimo de la progresión geométrica
Una progresión geométrica (PG) tiene la siguiente fórmula para el enésimo término \(g_n\):

\[
g_n = g_1 \cdot r^{n-1}
\]

donde:
- \(g_1 = 1\) (primer término),
- \(r = 1.5\) (razón común).

Entonces, el enésimo término de la progresión geométrica es:

\[
g_n = 1 \cdot (1.5)^{n-1} = (1.5)^{n-1}
\]

### Paso 3: Planteamos la desigualdad
Queremos encontrar el valor más pequeño de \(n\) tal que el enésimo término de la progresión geométrica sea mayor que el enésimo término de la progresión aritmética:

\[
g_n > a_n
\]

Sustituyendo las expresiones de \(g_n\) y \(a_n\):

\[
(1.5)^{n-1} > 50n - 22
\]

### Paso 4: Resolución numérica
Esta es una desigualdad exponencial que no se puede resolver fácilmente de manera algebraica, por lo que procederemos a calcular valores de \(n\) para encontrar el punto en el que la progresión geométrica supera a la aritmética.

Voy a proceder con los cálculos.El menor valor de \(n\) para el cual el enésimo término de la progresión geométrica es mayor que el enésimo término de la progresión aritmética es \(n = 18\). 

En ese caso:
- El término 18 de la progresión aritmética es \(878\),
- El término 18 de la progresión geométrica es aproximadamente \(985.26\).

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina la fórmula de una progresión aritmética o geométrica?
2. ¿Cómo se comportan las progresiones aritméticas y geométricas a largo plazo?
3. ¿Qué métodos numéricos se pueden usar para resolver desigualdades exponenciales?
4. ¿Qué sucede si se cambia la razón de la progresión geométrica a otro valor?
5. ¿Cómo afectan los valores iniciales de las progresiones al valor de \(n\)?

**Tip**: Las progresiones geométricas crecen mucho más rápido que las aritméticas, especialmente cuando la razón es mayor que 1.

Resuelve el problema de encontrar el menor valor de n en el cual el enésimo término de una progresión geométrica supera al de una progresión aritmética. Este problema involucra el uso de fórmulas de progresiones y desigualdades exponenciales. Apto para estudiantes de grados 9-12.

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