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Vamos a resolver los ejercicios del documento.

### Ejercicio 3

La ecuación de una elipse con centro en el origen es \( 100x^2 + 64y^2 = 6400 \). La ecuación estándar de una elipse con centro en el origen es:

\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]

Primero, transformamos la ecuación dada a la forma estándar. Dividimos todo por 6400:

\[
\frac{100x^2}{6400} + \frac{64y^2}{6400} = 1 \implies \frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{100} = 1
\]

Esto nos da \( a^2 = 100 \) y \( b^2 = 64 \). 

Para encontrar la distancia entre los focos, usamos la fórmula \( c = \sqrt{a^2 - b^2} \):

\[
c = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6
\]

La distancia entre los focos es \( 2c \):

\[
2c = 2 \times 6 = 12
\]

**Respuesta:** La distancia entre los focos es 12 unidades.

### Ejercicio 4

Una elipse tiene su centro en el punto \((3, 5)\), uno de sus vértices es \((9, 5)\) y el eje menor tiene una longitud de 10 unidades. 

La distancia entre el centro y el vértice nos da \(a\). La distancia entre \((3, 5)\) y \((9, 5)\) es 6, por lo tanto, \(a = 6\). 

El eje menor tiene una longitud de 10 unidades, por lo tanto, \(b = 5\).

La ecuación de la elipse con centro en \((h, k) = (3, 5)\) es:

\[
\frac{(x - 3)^2}{6^2} + \frac{(y - 5)^2}{5^2} = 1
\]

Simplificando:

\[
\frac{(x - 3)^2}{36} + \frac{(y - 5)^2}{25} = 1
\]

**Respuesta:** La ecuación de la elipse es \(\frac{(x - 3)^2}{36} + \frac{(y - 5)^2}{25} = 1\).

### Ejercicio 5

La ecuación de una elipse con centro fuera del origen es \(9x^2 + 16y^2 - 32y - 560 = 0\).

Para encontrar el centro, completamos el cuadrado para la variable \(y\). Primero reescribimos la ecuación agrupando los términos de \(y\):

\[
9x^2 + 16(y^2 - 2y) = 560
\]

Completamos el cuadrado para \(y\):

\[
y^2 - 2y \implies y^2 - 2y + 1 - 1 = (y - 1)^2 - 1
\]

Reescribimos la ecuación con el cuadrado completado:

\[
9x^2 + 16((y - 1)^2 - 1) = 560 \implies 9x^2 + 16(y - 1)^2 - 16 = 560 \implies 9x^2 + 16(y - 1)^2 = 576
\]

Dividimos todo por 576:

\[
\frac{9x^2}{576} + \frac{16(y - 1)^2}{576} = 1 \implies \frac{x^2}{64} + \frac{(y - 1)^2}{36} = 1
\]

Esto muestra que la elipse está centrada en \((0, 1)\).

**Respuesta:** La coordenada del centro de la elipse es \((0, 1)\).

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta? Aquí tienes 5 preguntas más para practicar:

1. ¿Cómo se calcula el área de un círculo?
2. ¿Qué es el teorema de Pitágoras y cómo se aplica?
3. ¿Cómo se derivan las funciones polinómicas?
4. ¿Qué es una función exponencial y cuáles son sus propiedades?
5. ¿Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones lineales?

**Tip:** Siempre revisa tus cálculos dos veces para asegurarte de que no hay errores.

Explore how to solve various ellipse exercises including finding centers, equations, and distances between foci. This detailed guide covers advanced high school level concepts in geometry and algebra.

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