Vamos a resolver los ejercicios del documento.

Ejercicio 3

La ecuación de una elipse con centro en el origen es $100x^2 + 64y^2 = 6400$. La ecuación estándar de una elipse con centro en el origen es:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Primero, transformamos la ecuación dada a la forma estándar. Dividimos todo por 6400:

$\frac{100x^2}{6400} + \frac{64y^2}{6400} = 1 \implies \frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{100} = 1$

Esto nos da $a^2 = 100$ y $b^2 = 64$.

Para encontrar la distancia entre los focos, usamos la fórmula $c = \sqrt{a^2 - b^2}$:

$c = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$

La distancia entre los focos es $2c$:

$2c = 2 \times 6 = 12$

Respuesta: La distancia entre los focos es 12 unidades.

Ejercicio 4

Una elipse tiene su centro en el punto $(3, 5)$, uno de sus vértices es $(9, 5)$ y el eje menor tiene una longitud de 10 unidades.

La distancia entre el centro y el vértice nos da $a$. La distancia entre $(3, 5)$ y $(9, 5)$ es 6, por lo tanto, $a = 6$.

El eje menor tiene una longitud de 10 unidades, por lo tanto, $b = 5$.

La ecuación de la elipse con centro en $(h, k) = (3, 5)$ es:

$\frac{(x - 3)^2}{6^2} + \frac{(y - 5)^2}{5^2} = 1$

Simplificando:

$\frac{(x - 3)^2}{36} + \frac{(y - 5)^2}{25} = 1$

Respuesta: La ecuación de la elipse es $\frac{(x - 3)^2}{36} + \frac{(y - 5)^2}{25} = 1$.

Ejercicio 5

La ecuación de una elipse con centro fuera del origen es $9x^2 + 16y^2 - 32y - 560 = 0$.

Para encontrar el centro, completamos el cuadrado para la variable $y$. Primero reescribimos la ecuación agrupando los términos de $y$:

$9x^2 + 16(y^2 - 2y) = 560$

Completamos el cuadrado para $y$:

$y^2 - 2y \implies y^2 - 2y + 1 - 1 = (y - 1)^2 - 1$

Reescribimos la ecuación con el cuadrado completado:

$9x^2 + 16((y - 1)^2 - 1) = 560 \implies 9x^2 + 16(y - 1)^2 - 16 = 560 \implies 9x^2 + 16(y - 1)^2 = 576$

Dividimos todo por 576:

$\frac{9x^2}{576} + \frac{16(y - 1)^2}{576} = 1 \implies \frac{x^2}{64} + \frac{(y - 1)^2}{36} = 1$

Esto muestra que la elipse está centrada en $(0, 1)$.

Respuesta: La coordenada del centro de la elipse es $(0, 1)$.

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta? Aquí tienes 5 preguntas más para practicar:

1. ¿Cómo se calcula el área de un círculo?
2. ¿Qué es el teorema de Pitágoras y cómo se aplica?
3. ¿Cómo se derivan las funciones polinómicas?
4. ¿Qué es una función exponencial y cuáles son sus propiedades?
5. ¿Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones lineales?

Tip: Siempre revisa tus cálculos dos veces para asegurarte de que no hay errores.