Math Problem Statement

你给的答案错的很明显，688/11不余1，请重新计算给我正确答案，Find the smallest positive integer x x that satisfies all four of the following congruences: x ≡ 1 ( m o d 11 ) x≡1(mod11) x ≡ 2 ( m o d 7 ) x≡2(mod7) x ≡ 3 ( m o d 5 ) x≡3(mod5) x ≡ 4 ( m o d 3 ) x≡4

Solution

我们需要找到一个最小的正整数 xx，使得它同时满足以下四个同余方程：

x \equiv 1 \pmod{11} \\ x \equiv 2 \pmod{7} \\ x \equiv 3 \pmod{5} \\ x \equiv 4 \pmod{3} \end{cases}$$ 我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。首先，我们将这些同余方程用一个新的变量来表示： 设 $$M = 11 \times 7 \times 5 \times 3$$ $$M = 11 \times 7 \times 5 \times 3 = 1155$$ 每个模数的乘积是： $$M_1 = \frac{M}{11} = \frac{1155}{11} = 105 \\ M_2 = \frac{M}{7} = \frac{1155}{7} = 165 \\ M_3 = \frac{M}{5} = \frac{1155}{5} = 231 \\ M_4 = \frac{M}{3} = \frac{1155}{3} = 385$$ 我们需要找到每个 $$M_i$$ 的逆元，满足以下条件： $$M_1 y_1 \equiv 1 \pmod{11} \\ M_2 y_2 \equiv 1 \pmod{7} \\ M_3 y_3 \equiv 1 \pmod{5} \\ M_4 y_4 \equiv 1 \pmod{3}$$ 通过计算，我们找到： $$105 \cdot 1 \equiv 1 \pmod{11} \\ 165 \cdot 1 \equiv 1 \pmod{7} \\ 231 \cdot 1 \equiv 1 \pmod{5} \\ 385 \cdot 2 \equiv 1 \pmod{3}$$ 然后，我们可以组合起来得到： $$x = 1 \cdot 105 \cdot 1 + 2 \cdot 165 \cdot 1 + 3 \cdot 231 \cdot 1 + 4 \cdot 385 \cdot 2$$ 计算这些值： $$1 \cdot 105 = 105 \\ 2 \cdot 165 = 330 \\ 3 \cdot 231 = 693 \\ 4 \cdot 385 \cdot 2 = 3080$$ 所以， $$x = 105 + 330 + 693 + 3080 = 4208$$ 我们对 4208 取模 1155： $$x = 4208 \mod 1155 = 738$$ 因此，满足条件的最小正整数 $$x$$ 是 738。 你是否需要更详细的解释或有其他问题？下面是你可以继续提问的5个问题： 1. 如何验证中国剩余定理的计算步骤？ 2. 可以讲解一下同余方程的解法吗？ 3. 你能解释一下如何计算模数的逆元吗？ 4. 如果模数不是互质的，该怎么办？ 5. 有其他关于数论的例子吗？ 提示：在解同余方程组时，中国剩余定理是一个非常有用的工具，特别是当模数是互质时。

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