你给的答案错的很明显，688/11不余1，请重新计算给我正确答案，Find the smallest positive integer 
x
x that satisfies all four of the following congruences: 
x
≡
1
(
m
o
d
11
)
x≡1(mod11) 
x
≡
2
(
m
o
d
7
)
x≡2(mod7) 
x
≡
3
(
m
o
d
5
)
x≡3(mod5) 
x
≡
4
(
m
o
d
3
)
x≡4

我们需要找到一个最小的正整数 \( x \)，使得它同时满足以下四个同余方程：

\[
\begin{cases}
x \equiv 1 \pmod{11} \\
x \equiv 2 \pmod{7} \\
x \equiv 3 \pmod{5} \\
x \equiv 4 \pmod{3}
\end{cases}
\]

我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。首先，我们将这些同余方程用一个新的变量来表示：

设 \( M = 11 \times 7 \times 5 \times 3 \)

\[
M = 11 \times 7 \times 5 \times 3 = 1155
\]

每个模数的乘积是：

\[
M_1 = \frac{M}{11} = \frac{1155}{11} = 105 \\
M_2 = \frac{M}{7} = \frac{1155}{7} = 165 \\
M_3 = \frac{M}{5} = \frac{1155}{5} = 231 \\
M_4 = \frac{M}{3} = \frac{1155}{3} = 385
\]

我们需要找到每个 \( M_i \) 的逆元，满足以下条件：

\[
M_1 y_1 \equiv 1 \pmod{11} \\
M_2 y_2 \equiv 1 \pmod{7} \\
M_3 y_3 \equiv 1 \pmod{5} \\
M_4 y_4 \equiv 1 \pmod{3}
\]

通过计算，我们找到：

\[
105 \cdot 1 \equiv 1 \pmod{11} \\
165 \cdot 1 \equiv 1 \pmod{7} \\
231 \cdot 1 \equiv 1 \pmod{5} \\
385 \cdot 2 \equiv 1 \pmod{3}
\]

然后，我们可以组合起来得到：

\[
x = 1 \cdot 105 \cdot 1 + 2 \cdot 165 \cdot 1 + 3 \cdot 231 \cdot 1 + 4 \cdot 385 \cdot 2
\]

计算这些值：

\[
1 \cdot 105 = 105 \\
2 \cdot 165 = 330 \\
3 \cdot 231 = 693 \\
4 \cdot 385 \cdot 2 = 3080
\]

所以，

\[
x = 105 + 330 + 693 + 3080 = 4208
\]

我们对 4208 取模 1155：

\[
x = 4208 \mod 1155 = 738
\]

因此，满足条件的最小正整数 \( x \) 是 738。

你是否需要更详细的解释或有其他问题？下面是你可以继续提问的5个问题：

1. 如何验证中国剩余定理的计算步骤？
2. 可以讲解一下同余方程的解法吗？
3. 你能解释一下如何计算模数的逆元吗？
4. 如果模数不是互质的，该怎么办？
5. 有其他关于数论的例子吗？

提示：在解同余方程组时，中国剩余定理是一个非常有用的工具，特别是当模数是互质时。

Explore how to find the smallest positive integer x that satisfies four congruences using the Chinese Remainder Theorem. Learn step-by-step calculations and the application of modular arithmetic concepts. Suitable for advanced high school students and those interested in number theory problems.

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