برای حل این مسئله، فرض می‌کنیم دنباله حسابی $a_1, a_2, a_3, \dots$ باشد. بر اساس اطلاعات داده‌شده، جملات سوم، پنجم و نهم دنباله حسابی هستند، و این سه جمله به‌طور متوالی تشکیل یک دنباله هندسی می‌دهند.

گام اول: معادلات دنباله حسابی

فرض می‌کنیم $d$ قدر نسبت دنباله حسابی باشد. در این صورت جملات دنباله حسابی به صورت زیر هستند:

• جمله سوم: $a_3 = a_1 + 2d$
• جمله پنجم: $a_5 = a_1 + 4d$
• جمله نهم: $a_9 = a_1 + 8d$

گام دوم: معادلات دنباله هندسی

با توجه به اینکه جملات سوم، پنجم و نهم دنباله هندسی را تشکیل می‌دهند، طبق خاصیت دنباله هندسی داریم: $a_5^2 = a_3 \cdot a_9$ با جایگذاری مقدار $a_3, a_5, a_9$ از دنباله حسابی در این معادله: $(a_1 + 4d)^2 = (a_1 + 2d)(a_1 + 8d)$

گام سوم: حل معادله

این معادله را باز می‌کنیم و حل می‌کنیم:

1. طرف چپ: $(a_1 + 4d)^2 = a_1^2 + 8a_1d + 16d^2$

2. طرف راست: $(a_1 + 2d)(a_1 + 8d) = a_1^2 + 8a_1d + 2a_1d + 16d^2 = a_1^2 + 10a_1d + 16d^2$

حال معادله را به شکل زیر ساده می‌کنیم: $a_1^2 + 8a_1d + 16d^2 = a_1^2 + 10a_1d + 16d^2$ با حذف جملات مشترک: $8a_1d = 10a_1d$ با ساده‌سازی این معادله، به نتیجه زیر می‌رسیم: $0 = 2a_1d$ چون فرض کرده‌ایم قدر نسبت دنباله حسابی صفر نیست ($d \neq 0$)، پس نتیجه می‌گیریم که: $a_1 = 0$

بنابراین، جمله اول دنباله حسابی برابر با صفر است.

آیا توضیحات بیشتری نیاز دارید یا سوال دیگری دارید؟

سوالات مرتبط:

1. دنباله هندسی و حسابی چه تفاوت‌هایی با هم دارند؟
2. اگر قدر نسبت $d$ برابر با صفر بود، چه اتفاقی می‌افتاد؟
3. آیا می‌توان دنباله‌ای پیدا کرد که همزمان هم حسابی و هم هندسی باشد؟
4. اگر جمله‌های چهارم و هشتم نیز بخشی از دنباله هندسی بودند، چگونه مسئله تغییر می‌کرد؟
5. چگونه می‌توان دنباله هندسی با سه جمله متوالی از یک دنباله حسابی ساخت؟

نکته:

دنباله‌های هندسی با خاصیت ضربی و دنباله‌های حسابی با خاصیت جمعی مرتبط هستند؛ لذا توجه به این ویژگی‌ها می‌تواند در حل مسائل مربوط به این دو نوع دنباله مفید باشد.