جملات سوم و پنجم و نهم یک دنباله حسابی،سه جمله متوالی یک دنباله هندسی هستند.اگر قدر نسبت دنباله حسابی صفر نباشد،جمله اول دنباله حسابی چند است؟

برای حل این مسئله، فرض می‌کنیم دنباله حسابی \( a_1, a_2, a_3, \dots \) باشد. بر اساس اطلاعات داده‌شده، جملات سوم، پنجم و نهم دنباله حسابی هستند، و این سه جمله به‌طور متوالی تشکیل یک دنباله هندسی می‌دهند. 

### گام اول: معادلات دنباله حسابی
فرض می‌کنیم \( d \) قدر نسبت دنباله حسابی باشد. در این صورت جملات دنباله حسابی به صورت زیر هستند:
- جمله سوم: \( a_3 = a_1 + 2d \)
- جمله پنجم: \( a_5 = a_1 + 4d \)
- جمله نهم: \( a_9 = a_1 + 8d \)

### گام دوم: معادلات دنباله هندسی
با توجه به اینکه جملات سوم، پنجم و نهم دنباله هندسی را تشکیل می‌دهند، طبق خاصیت دنباله هندسی داریم:
\[
a_5^2 = a_3 \cdot a_9
\]
با جایگذاری مقدار \( a_3, a_5, a_9 \) از دنباله حسابی در این معادله:
\[
(a_1 + 4d)^2 = (a_1 + 2d)(a_1 + 8d)
\]

### گام سوم: حل معادله
این معادله را باز می‌کنیم و حل می‌کنیم:

1. طرف چپ:
\[
(a_1 + 4d)^2 = a_1^2 + 8a_1d + 16d^2
\]

2. طرف راست:
\[
(a_1 + 2d)(a_1 + 8d) = a_1^2 + 8a_1d + 2a_1d + 16d^2 = a_1^2 + 10a_1d + 16d^2
\]

حال معادله را به شکل زیر ساده می‌کنیم:
\[
a_1^2 + 8a_1d + 16d^2 = a_1^2 + 10a_1d + 16d^2
\]
با حذف جملات مشترک:
\[
8a_1d = 10a_1d
\]
با ساده‌سازی این معادله، به نتیجه زیر می‌رسیم:
\[
0 = 2a_1d
\]
چون فرض کرده‌ایم قدر نسبت دنباله حسابی صفر نیست (\( d \neq 0 \))، پس نتیجه می‌گیریم که:
\[
a_1 = 0
\]

بنابراین، **جمله اول دنباله حسابی برابر با صفر است**.

آیا توضیحات بیشتری نیاز دارید یا سوال دیگری دارید؟

### سوالات مرتبط:
1. دنباله هندسی و حسابی چه تفاوت‌هایی با هم دارند؟
2. اگر قدر نسبت \( d \) برابر با صفر بود، چه اتفاقی می‌افتاد؟
3. آیا می‌توان دنباله‌ای پیدا کرد که همزمان هم حسابی و هم هندسی باشد؟
4. اگر جمله‌های چهارم و هشتم نیز بخشی از دنباله هندسی بودند، چگونه مسئله تغییر می‌کرد؟
5. چگونه می‌توان دنباله هندسی با سه جمله متوالی از یک دنباله حسابی ساخت؟

### نکته:
دنباله‌های هندسی با خاصیت ضربی و دنباله‌های حسابی با خاصیت جمعی مرتبط هستند؛ لذا توجه به این ویژگی‌ها می‌تواند در حل مسائل مربوط به این دو نوع دنباله مفید باشد.

جملات سوم و پنجم و نهم یک دنباله حسابی، سه جمله متوالی یک دنباله هندسی هستند. اگر قدر نسبت دنباله حسابی صفر نباشد، جمله اول دنباله حسابی چند است؟

Discover how to solve a problem involving both arithmetic and geometric sequences, where the third, fifth, and ninth terms of an arithmetic sequence also form a geometric sequence. This step-by-step solution includes key algebraic concepts and formulas, suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation