Множество всех векторов на координатной плоскости, коллинеарных вектору $\mathbf{a} = \{ 10; 3 \}$, представляет собой множество всех векторов, которые являются скалярными произведениями вектора $\mathbf{a}$ на некоторые числа. То есть это множество всех векторов вида $\lambda \cdot \mathbf{a} = \{ 10\lambda; 3\lambda \}$, где $\lambda$ — это произвольное действительное число.

Теперь проверим, является ли это множество линейным пространством:

1. Закрытость относительно сложения: Пусть $\mathbf{u} = \{ 10\lambda_1; 3\lambda_1 \}$ и $\mathbf{v} = \{ 10\lambda_2; 3\lambda_2 \}$ — два вектора из этого множества. Сложение этих векторов даёт $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \{ 10(\lambda_1 + \lambda_2); 3(\lambda_1 + \lambda_2) \}$. Это снова вектор вида $\lambda' \cdot \mathbf{a}$ с $\lambda' = \lambda_1 + \lambda_2$, что означает, что результат находится в том же множестве. Закрытость относительно сложения выполнена.

2. Закрытость относительно умножения на скаляр: Пусть $\mathbf{u} = \{ 10\lambda; 3\lambda \}$ — вектор из этого множества и $\alpha$ — произвольное действительное число. Тогда $\alpha \cdot \mathbf{u} = \{ 10\alpha\lambda; 3\alpha\lambda \}$, что также является вектором вида $\lambda' \cdot \mathbf{a}$ с $\lambda' = \alpha \lambda$, и значит, результат также находится в этом множестве. Закрытость относительно умножения на скаляр выполнена.

3. Нулевой вектор: В этом множестве существует вектор $\{ 0; 0 \}$, который соответствует $\lambda = 0$, что является элементом множества.

4. Аддитивная обратимость: Если вектор $\mathbf{u} = \{ 10\lambda; 3\lambda \}$, то его обратный вектор $-\mathbf{u} = \{ -10\lambda; -3\lambda \}$, что также является элементом множества (с $\lambda' = -\lambda$).

Таким образом, множество всех векторов, коллинеарных $\mathbf{a} = \{ 10; 3 \}$, является линейным пространством, поскольку оно удовлетворяет всем аксиомам линейного пространства.

Ответ: Да, это линейное пространство.

Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите разбор более детально, дайте знать!

Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Что такое линейное пространство и его основные свойства?
2. Каковы геометрические интерпретации линейных пространств на плоскости?
3. Что такое базис линейного пространства и как его найти?
4. Какие критерии линейной независимости существуют для множества векторов?
5. Как определяется размерность линейного пространства?

Совет: Всегда проверяйте основные аксиомы линейного пространства, такие как замкнутость относительно сложения и умножения на скаляр, перед тем как делать выводы о его линейной структуре.