3. Выясните, образуют ли базис в пространстве три вектора: а = {1,-2,4),

b = {3, -1,5}, c = {6,0, 1}.

Чтобы выяснить, образуют ли векторы \( \mathbf{a} = (1, -2, 4) \), \( \mathbf{b} = (3, -1, 5) \) и \( \mathbf{c} = (6, 0, 1) \) базис в пространстве \( \mathbb{R}^3 \), необходимо проверить их линейную независимость. Это можно сделать, составив матрицу из этих векторов и вычислив её определитель.

Матрица будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 6 \\
-2 & -1 & 0 \\
4 & 5 & 1
\end{pmatrix}
\]

Теперь найдем определитель этой матрицы:

\[
\text{det} = 1 \cdot (-1 \cdot 1 - 0 \cdot 5) - 3 \cdot (-2 \cdot 1 - 0 \cdot 4) + 6 \cdot (-2 \cdot 5 - (-1) \cdot 4)
\]

\[
= 1 \cdot (-1) - 3 \cdot (-2) + 6 \cdot (-10 + 4)
\]
\[
= -1 + 6 - 6 \cdot 6
\]
\[
= -1 + 6 - 36 = -31
\]

Поскольку определитель не равен нулю (\(\text{det} = -31 \neq 0\)), векторы \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \) являются линейно независимыми и, следовательно, образуют базис в пространстве \( \mathbb{R}^3 \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите уточнить что-то, дайте знать!

### Вопросы для дальнейшего изучения:
1. Как найти базис в других пространствах?
2. Какие есть критерии линейной независимости?
3. Как вычислять определитель матриц размерности больше \(3 \times 3\)?
4. Какие методы существуют для проверки линейной зависимости векторов?
5. Как векторы могут быть использованы для решения систем линейных уравнений?

**Совет:** Практикуйте вычисление определителей на разных матрицах, чтобы улучшить навыки работы с линейной алгеброй.

Выясните, образуют ли базис в пространстве три вектора: а = {1,-2,4), b = {3, -1,5}, c = {6,0, 1}.

Узнайте, образуют ли векторы a = (1, -2, 4), b = (3, -1, 5) и c = (6, 0, 1) базис в пространстве R^3. Решение включает вычисление определителя матрицы и проверку линейной независимости. Подходит для студентов 11-12 классов.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation